Tài liệu bài giảng Toán cao cấp A3: ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHKHOA KHOA HỌC CƠ BẢNTỔ BỘ MÔN TOÁNBÀI GIẢNGTOÁN CAO CẤP A3Dùng cho bậc Đại học
Bạn đang xem: Toán cao cấp a3 bài giảng và bài tập
Biên soạn: Th.s Đỗ Hoài Vũ
Học kỳ 3. Năm học: 2010-2011Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Chương 1. Phép tính vi phân hàm n biến chuyển 31.1. Loài kiến thức sẵn sàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Tóm tắt định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Các cách màn biểu diễn hàm n đổi thay . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Đạo hàm riêng biệt của hàm 2 trở nên . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3. Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4. Đạo hàm hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.5. Vi phân cung cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.6. Phương pháp Taylor của hàm hai trở thành . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.7. Cực trị của hàm hai phát triển thành . . . . . . . . . . . . . ....
Bạn đã xem trước đôi mươi trang mẫu mã tài liệu Bài giảng Toán cao cấp A3, để cài tài liệu nơi bắt đầu về máy bạn click vào nút download ở trên
ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHKHOA KHOA HỌC CƠ BẢNTỔ BỘ MÔN TOÁNBÀI GIẢNGTOÁN CAO CẤP A3Dùng cho bậc Đại học
Biên soạn: Th.s Đỗ Hoài Vũ
Học kỳ 3. Năm học: 2010-2011Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Chương 1. Phép tính vi phân hàm n phát triển thành 31.1. Con kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Bắt tắt định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Các cách màn trình diễn hàm n đổi thay . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Đạo hàm riêng biệt của hàm 2 đổi thay . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3. Đạo hàm riêng v.i.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4. Đạo hàm hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.5. Vi phân cấp cho n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.6. Cách làm Taylor của hàm hai thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.7. Rất trị của hàm hai thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Bài bác tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Chương 2. Tích phân bội hai 122.1. Kiến thức sẵn sàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.1. Bảng nguyên hàm hàm số một biến. . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2. Phương thức tính tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . 122.1.3. Giải pháp vẽ một số đường cơ bản trong khía cạnh phẳng tọa độ Oxy. . 132.2. Tóm tắt định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.1. Định nghĩa và ký kết hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2. Một trong những tính chất của tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . 142.2.3. Phương pháp tính tích phân bội nhì . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4. Phương pháp đổi đổi mới trong tích phân bội hai. . . . . . . . . . 152.2.5. Ứng dụng của tích phân bội hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Bài bác tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Chương 3. Tích phân bội bố 193.1. Cầm tắt định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.1. Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2. Một vài tính hóa học của tích phân bội bố . . . . . . . . . . . . . 193.1.3. Phương thức tính tích phân bội bố . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.4. Phương thức đổi trở thành trong tích phân bội ba. . . . . . . . . . 203.1.5. Ứng dụng của tích phân bội ba. . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Mục lục Th.s Đỗ Hoài Vũ
Chương 4. Tích phân khía cạnh 254.1. Tích phân mặt một số loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.1. Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.2. Cách thức tính tích phân mặt nhiều loại 1 . . . . . . . . . . . . . 254.1.3. Ứng dụng của tích phân mặt nhiều loại 1. . . . . . . . . . . . . . . . 284.2. Tích phân mặt một số loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.1. Định nghĩa và cam kết hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.2. Cách thức tính tích phân mặt một số loại 2 . . . . . . . . . . . . . 294.3. Bài xích tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học tập kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Chương 1Phép tính vi phân hàm n biến1.1. Kiến thức sẵn sàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Bắt tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Bài xích tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1. Loài kiến thức chuẩn bị
Cần nhớ bảng đạo hàm và các quy tắc đạo hàm của hàm một đổi mới số.1.2. Nắm tắt lý thuyết1.2.1. Những cách màn trình diễn hàm n biến-Biểu diễn dạng bảng (không xét trong bài xích giảng).- màn biểu diễn dạng biểu thức.Ví dụ1:Hàm hai trở nên z = f(x, y) =x+ yx-Biểu diễn dạng phương trình ẩn.Ví dụ 2:Hàm hai trở thành z=z(x,y) cho do phương trình ẩnx2 + y2 + z2 − 2xz = 0- trình diễn dạng hàm hợp.Ví dụ 3:Hàm hai biến đổi z=z(x,y) biểu diễn thông qua u,vz = z(u, v);{u = u(x, y)v = v(x, y)1.2.2. Đạo hàm riêng biệt của hàm 2 biến
Bài toán : mang lại hàm hai phát triển thành z=z(x,y). Kiếm tìm z′x; z′y
Giải- giả dụ z biểu diễn dạng biểu thức thì lúc đạo hàm theo biến nào vẫn coi biến hóa còn lại4 Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài Vũlà hằng số
Ví dụ 1:z = x2y + cos(x+ 2y + 2)⇒{z′x = 2xy − sin(x+ 2y + 2)z′y = x2 − 2 sin(x+ 2y + 2)- giả dụ z màn biểu diễn dạng phương trình ẩn F (x, y, z) = 0 thì dùng một trong các hai cáchsau:Cách 1 : Đạo hàm nhị vế phương trình ẩn
Cách 2 : Dùng bí quyết z′x = −F′x
F ′zvà z′y = −F′y
F ′z( hôm nay ta coi x,y,z là cácbiến độc lập)Ví dụ 2:z = z(x, y) cho vị phương trình ẩn x2 + y2 + z3 + 2z = 0. Lúc đó{z′x = − 2x3z2+2z′y = − 2y3z2+2- ví như z màn trình diễn dạng hàm vừa lòng thì
Cách 1: Chuyển màn biểu diễn của hàm z theo u,v về theo x,y kế tiếp tính như trườnghợp trình diễn bằng biểu thức
Cách 2: Dùng công thức {z′x = z′uu′x + z′vv′xz′y = z′uu′y + z′vv′y
Ví dụ 3:Cho z = z(u, v) = u− v2 cùng với u = x2 − y2, v = exy. Lúc đó{z′x = 2x− 2ye2xyz′y = −2y − 2xe2xy1.2.3. Đạo hàm riêng cấp cho cao
Nếu chúng ta áp dụng các quy tắc đã nêu vào mục đạo hàm riêng rẽ n lần thìchúng ta sẽ tiến hành đạo hàm riêng cung cấp n theo từng thay đổi và ký kết hiệu là z(n)xn cùng z(n)yn .Ví dụ 1:z = x2y + cos(x+ 2y + 2)⇒{z(n)xn = cos(x+ 2y + 2 +npi2)z(n)yn = 2n cos(x+ 2y + 2 + npi2)Ví dụ 2:Xét z = z(x, y) thỏa x2 + y2 + z3 + 2z = 0(∗). Khi đó- Đạo hàm nhì vế (*) theo x ta được : 2x+ 3z2z′x + 2z′x = 0(∗∗)- Đạo hàm nhị vế (**) theo x ta được : 2 + 6z(z′x)2 + 3z2z′′x2 + 2z′′x2 = 0∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2. Cầm tắt lý thuyết 5...Như vậy hy vọng tính z(n)xn (hoặc z(n)yn ) chỉ cần đạo hàm thường xuyên (*) n lần theo x(hoặc n lần theo y )Ví dụ 3:Cho z = z(u, v) = u− v2 cùng với u = x2 − y2, v = exy. Tính z(n)xn và z(n)xn
Chuyển biểu diễn z theo x,y ta có:z = z(x, y) = x2 − y2 − e2xy ⇒{z(n)xn = −(2y)ne2xyz(n)yn = −(2x)ne2xy1.2.4. Đạo hàm lếu hợp+ z′′xy: Lần đầu tiên đạo hàm theo x, lấy công dụng đạo hàm theo y.+ z′′yx: Lần trước tiên đạo hàm theo y, lấy tác dụng đạo hàm theo x+ z(n+m)xnym : Đạo hàm theo x n lần, lấy công dụng đạo hàm tiếp theo sau y m lần.Ví dụ 1:Cho z = xy +√y2 + 2⇒ z′′xy = z′′yx = xy−1(1 + y lnx)Ví dụ2:Xét z=z(x,y) thỏa x2 + y2 + z3 + 2z = 0(∗). Lúc đó- Đạo hàm hai vế (*) theo x ta được : 2x+ 3z2z′x + 2z′x = 0(∗∗)- Đạo hàm hai vế (**) theo y ta được : 6zz′yz′x + 3z2z′′xy + 2z′′xy = 0Vậy z′′xy = −6zz′xz′y3z2+2. Chuyển đổi thứ trường đoản cú đạo hàm ta được z′′yx = z′′yx.1.2.5. Vi phân cung cấp n
Cho hàm z = z(x, y).- Vi phân cấp 1 của z: dz = z′xdx+ z′ydy- Vi phân cấp 2 của z: d2z = z′′x2dx2 + 2z′′xydxdy + z′′y2dy2- Vi phân cấp 3 của z: d3z = z(3)x3 dx3 + 3z(3)x2ydx2dy + 3z(3)xy2dxdy2 + z(3)x3 dy3- Vi phân cung cấp n của z: dnz =n∑k=0Cknf(n)xkyn−kdxkdyn−k
Ví dụ 1:Cho z = z(x, y) = cos(2x+ 3y). Search dz, d2z, d3z, d3z(pi4, 0).Giải.Ta có:z′x = −2 sin(2x+ 3y);z′y = −3 sin(2x+ 3y);z′′x2 = −4 cos(2x+ 3y);z′′y2 = −9 cos(2x+ 3y);z′′xy = −6 cos(2x+ 3y)z′′yx = −6 cos(2x+ 3y)z′′′x2y = 12 sin(2x+ 3y)z′′′y2x = 18 sin(2x+ 3y); z′′′x3 = 8 sin(2x+ 3y); z′′′y2x = 27 sin(2x+ 3y)∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học tập kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇6 Phép tính vi phân hàm n đổi mới Th.s Đỗ Hoài Vũ
Suy radz = −2(dx+ dy) sin(2x+ 3y)d2z = −(4dx2 + 12dxdy + 9dy2) cos(2x+ 3y)d3z = (8dx3 + 36dx2dy + 54dxdy2 + 27dy3) sin(2x+ 3y)Thay x = pi4, y = 0 vào biểu thức d3z ta đượcd3z = (8dx3 + 36dx2dy + 54dxdy2 + 27dy3) sin(pi2)= 8dx3 + 36dx2dy + 54dxdy2 + 27dy3Ví dụ 2:Cho z = z(x, y). Thỏa x2 + y2 + z3 + 2z = 0(∗). Kiếm tìm d2z(0, 0).Giải.Ta có:- Đạo hàm nhì vế (*) theo x ta được : 2x+ 3z2z′x + 2z′x = 0 (2*)- Đạo hàm nhì vế (2*) theo x ta được : 2 + 6z(z′x)2 + 3z2z′′x2 + 2z′′x2 = 0 (3*)- Đạo hàm nhì vế (*) theo y ta được : 2y + 3z2z′y + 2z′y = 0 (4*)- Đạo hàm nhị vế (4*) theo y ta được : 2 + 6z(z′y)2 + 3z2z′′y2 + 2z′′y2 = 0 (5*)- Đạo hàm nhị vế (2*) theo y ta được : 6zz′yz′x + 3z2z′′xy + 2z′′xy = 0 (6*)Thay x = y = 0 vào (*) ta được z = 0.Thay x = z = 0 vào (2*) ta được z′x = 0.Thay z = 0 vào (3*) ta được z′′x2 = −1. Núm y = z = 0 vào (4*) ta được z′y = 0.Thay z = 0 vào (5*) ta được z′′y2 = −1. Vắt z = 0 vào (6*) ta được z′′xy = 0.Vậy d2z(0, 0) = −dx2 − dy2.1.2.6. Công thức Taylor của hàm nhì biến
Dạng máy nhất:f(x, y) = f(x0, y0) + dz(x0, y0) +12!d2z(x0, y0) + ...+1n!dnz(x0, y0) +Rn(x, y)Dạng lắp thêm hai:f(x, y) = f(x0, y0) +1∑K=0Ck1 (x− x0)k(y − y0)1−kf (1)xky1−k(x0, y0)+ 12!2∑K=0Ck2 (x− x0)k(y − y0)2−kf (2)xky1−k(x0, y0)+ 13!3∑K=0Ck3 (x− x0)k(y − y0)3−kf (3)xky1−k(x0, y0)...+ 1n!n∑K=0Ckn(x− x0)k(y − y0)n−kf (n)xky1−k(x0, y0)+Rn(x, y)Ghi chú : Số hạng1m!m∑K=0Ckm(x− x0)k(y − y0)m−kf (m)xkym−k(x0, y0); 0 ≤ m ≤ n.∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học tập kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2. Tóm tắt lý thuyết 7gọi là số hạng bậc m trong bí quyết Taylor(chú ý tổng lũy quá của x, y bởi m)Ví dụ 1:Viết công thức Taylor mang lại số hạng bậc 2 của hàm z = f(x, y) = (x + y)ex trên lâncận x0 = 0, y0 = 1.Giảif(x, y) = f(x0, y0) +1∑K=0Ck1 (x− x0)k(y − y0)1−kf (1)xky1−k(x0, y0)+ 12!2∑K=0Ck2 (x− x0)k(y − y0)2−kf (2)xky1−k(x0, y0)= f(x0, y0) + (x− x0)f ′x(x0, y0) + (y − y0)f ′y(x0, y0)+ 12!<(x− x0)2f ′′x2(x0, y0) + 2(x− x0)(y − y0)f ′′xy(x0, y0) + (y − y0)2f ′′y2(x0, y0)>= f(0, 1) + xf ′x(0, 1) + (y − 1)f ′y(0, 1)+ 12!
Cách 1: có tác dụng như ví dụ 1.Cách 2: nhận ra công thức Taylor tại x0, y0 của hàm z thực tế là màn biểu diễn ztheo x− x0 với y − y0 phải trong lấy ví dụ này bạn cũng có thể làm nhanh như sau:z = (x− x0 + x0)(y − y0 + y0 + 5)2 + (x− x0 + x0)3 + 2(y − y0 + y0) + 3= (x− 2 + 2)(y − 1 + 6)2 + (x− 2 + 2)3 + 2(y − 1 + 1) + 3Đặt a = x− 2, b = y − 1. Ta có :z = (a+ 2)(b+ 6)2 + (a+ 2)3 + 2(b+ 1) + 3= (a+ 2)(b2 + 12b+ 36) + a3 + 6a2 + 12a+ 8 + 2b+ 5= ab2 + 12ab+ 36a+ 2b2 + 24b+ 72 + a3 + 6a2 + 12a+ 2b+ 13bỏ đi số hạng gồm tổng lũy quá của a, b lớn hơn 2 (vì chỉ viết mang lại số hạng bậc 2 ) tađược bí quyết Taylor của z là:z = 85 + 48a+ 26b+ 6a2 + 12ab+ 2b2= 85 + 48(x− 2) + 26(y − 1) + 6(x− 2)2 + 12(x− 2)(y − 1) + 2(y − 1)2∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học tập kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇8 Phép tính vi phân hàm n vươn lên là Th.s Đỗ Hoài Vũ
Ví dụ 3:Viết công thức Taylor mang đến số hạng bậc 3 của hàm z = f(x, y) = xyln(x2+2y+ecosx)tại kề bên x0 = 0, y0 = 0.Giải
Cách 1: làm cho như lấy ví dụ 1 (rất dài).Cách 2: do chỉ viết bí quyết Tarlor cho số hạng bậc 3 nên trong các số hạng củacông thức toàn bô lũy vượt của tích xy ko được vượt vượt 3, vì đó chỉ cần khaitriển hàm z = f(x, y) = ln(x2 + 2y + ecosx) mang đến số hạng bậc 1 nhằm khi nhân cùng với tíchxy tổng lũy thừa không qúa 3.Ta tất cả :f(x, y) = ln(x2 + 2y + ecosx)⇒{f ′x =2x−sinxecos xx2+2y+ecos x⇒ f ′x(0, 0) = 0f ′y =2x2+2y+ecos x⇒ f ′y(0, 0) = 2/e
Suy ra bí quyết Taylor của hàm z = f(x, y) = ln(x2 + 2y + ecosx) tại x0 = y0 = 0là f(x, y) = f(0, 0) + xf ′x(0, 0) + yf′y(0, 0) = 1 +2ey
Suy ra công thức Taylor của hàm z = f(x, y) = xyln(x2+2y+ecosx) tại x0 = y0 = 0đến số hạng bậc 3 là f(x, y) = xy + 2exy2Ví dụ 4:Viết bí quyết Taylor cho số hạng bậc 2 của hàm z = f(x, y) màn biểu diễn bởi phươngtrình ẩn x2 + y2 + z3 + 2z = 0 (*) tại ở bên cạnh x0 = 0, y0 = 0.Giải
Ta có:- Đạo hàm nhì vế (*) theo x ta được : 2x+ 3z2z′x + 2z′x = 0 (2*)- Đạo hàm nhị vế (2*) theo x ta được : 2 + 6z(z′x)2 + 3z2z′′x2 + 2z′′x2 = 0 (3*)- Đạo hàm nhị vế (*) theo y ta được : 2y + 3z2z′y + 2z′y = 0 (4*)- Đạo hàm nhì vế (4*) theo y ta được : 2 + 6z(z′y)2 + 3z2z′′y2 + 2z′′y2 = 0 (5*)- Đạo hàm nhị vế (2*) theo y ta được : 6zz′yz′x + 3z2z′′xy + 2z′′xy = 0 (6*)Thay x = y = 0 vào (*) ta được z = 0.Thay x = z = 0 vào (2*) ta được z′x = 0.Thay z = 0 vào (3*) ta được z′′x2 = −1. Cố kỉnh y = z = 0 vào (4*) ta được z′y = 0.Thay z = 0 vào (5*) ta được z′′y2 = −1. Nỗ lực z = 0 vào (6*) ta được z′′xy = 0.Vậy bí quyết Taylor của z là z = −x2+y22.1.2.7. Cực trị của hàm nhì biếna) Định nghĩa
Cho hàm z = f(x, y) xác định trên miền D, M0(x0, y0) là vấn đề trong của D. Ta nói:-f(x, y) đạt cực lớn tại M0 nếu như f(x, y)− f(x0, y0) 0với gần như (x, y) thuộc ở kề bên (x0, y0) tuy thế khác (x0, y0).b) rất trị trường đoản cú do
Bài toán : Tìm cực trị của hàm z = f(x, y).Giải∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2. Tóm tắt định hướng 9+ Tìm điểm dừng thỏa hệ{f ′x = 0f ′y = 0. đưa sử kiếm tìm được:{x = x0y = y0+ Đặt A = f ′′x2(x0, y0);B = f′′xy(x0, y0);C = f′′y2(x0, y0). Tính 4 = AC −B2- nếu 4 0 thì hàm z đạt cực đại khi A 0.- trường hợp 4 = 0 thì chưa tóm lại được (cần sử dụng định nghĩa).Ví dụ 1:Tìm rất trị của hàm z = f(x, y) = x3 + y3 − 3xy.Ví dụ 2:Tìm cực trị của hàm z = f(x, y) cho vị phương trình ẩnx2 + y2 + z2 − 4x+ 12y + 2z − 8 = 0 (*), z > 0Giải:+ tìm kiếm điểm dừng- Đạo hàm nhì vế (*) theo x ta được : 2x+ 2zz′x − 4 + 2z′x = 0 (2*)- Đạo hàm nhì vế (*) theo y ta được : 2y+2zz′y +12+2z′y = 0 (3*)Thay z′x = 0; z′y = 0 vào (2*) cùng (3*) ta được điểm dừng x = 2; y = −6.- Đạo hàm hai vế (2*) theo x ta được : 2 + 2(z′x)2 + 2zz′′x2 + 2z′′x2 = 0 (4*)- Đạo hàm nhị vế (2*) theo y ta được : 2z′yz′x+2zz′′xy+2z′′xy = 0 (5*)- Đạo hàm nhị vế (3*) theo y ta được : 2+2(z′y)2+2zz′′y2 +2z′′y2 = 0 (6*)Thay x = 2, y = −6 vào (*) ta được z = 6 (vì z > 0). Cố z = 6, z′x = z′y = 0 vào(4*),(5*),(6*) ta được:A = z′′x2(2,−6) = −17B = z′′xy(2,−6) = 0C = z′′y2(2,−6) = −17=⇒4 = AC −B2 = 149> 0.Vậy z đạt cực to tại x = 2, y = −6 (vì A 0 với tất cả (x, y) thuộc lân cậncủa (0, 0) (khác (0, 0)) bắt buộc theo định nghĩa z đạt rất tiểu trên (0, 0) và zct = 1Ví dụ 4:Tìm cực trị của hàm z = f(x, y) = x4y3.Giải:- Ta chỉ tìm kiếm được điểm giới hạn x = y = 0 và khi ấy 4 = 0 yêu cầu chưa kết luận được.- Hiệu f(x, y) − f(0, 0) = x4y3 đổi lốt khi y thay đổi dấu đề nghị theo tư tưởng z khôngđạt cực trị tại (0, 0).c) rất trị có điều kiện∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học tập kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇10 Phép tính vi phân hàm n biến chuyển Th.s Đỗ Hoài Vũ
Bài toán : Tìm rất trị của hàm z = f(x, y) thỏa đk g(x, y) = 0.Giải
Phương pháp 1+ Đặt hàm L(x, y, a) = f(x, y) + ag(x, y)+ Tìm điểm dừng thỏa hệL′x = 0L′y = 0L′a = 0. Mang sử search được:x = x0y = y0a = a0+ Đặt A = L′′x2(x0, y0, a0); B = L′′xy(x0, y0, a0); C = L′′y2(x0, y0, a0).+ Xét vết : 4 = Ah2 + 2Bhk + Ck2 . Với h,k thỏa:{h, k ∈ R;h2 + k2 > 0g′xh+ g′yk = 0.+ kết luận :- trường hợp 4 0 thì hàm z đạt cực tiểu (x0, y0).- giả dụ 4 = 0 thì chưa tóm lại được (cần dùng định nghĩa).Ví dụ 1:Tìm cực trị của hàm z = f(x, y) = 6− 4x− 3y thỏa điều kiện x2 + y2 = 1.Phương pháp 2Từ điều kiện g(x, y) = 0 nếu như rút được nhất y = y(x) thì nuốm vào z = f(x, y(x)),sau kia dùng cách thức tìm cực trị của hàm một thay đổi để tìm cực trị của z.Ví dụ 2:Tìm cực trị của hàm z = ln |1 + x2y| thỏa điều kiện x− y − 3 = 0.1.3. Bài xích tập
Bài tập 1.1. Mang lại hàm z = z(x, y) biểu diễn bởi phương trình ẩn z2+ 2x=√y2 − z2.Tính x2z′x +1yz′y theo z.a) z2 b)2zc)1zd)z3.Bài tập 1.2. Mang đến hàm z = x3 − 2x2 + 2y3 + x− 8y. Hãy chọn khẳng định đúng?a) z có 4 điểm dừng. B) z không có điểm dừng.c) z có điểm ngừng nhưng không có cực trị. D) z gồm hai cực đại và hai cực tiểu
Bài tập 1.3. Tìm cực trị của hàm số z = z(x,y) thỏa : x2+y2+z2−4x+6y+2z−2 = 0.Biết z 0.2) Đường Elip, Miền Elip- Phương trình bao quát :x2a2+y2b2= 1.- Phương trình tham số :{x = a cos ty = b sin t; t ∈ R.- D1 là miền thỏa điều kiện:x2a2+ y2b2 13) Đường Parabol, Miền Parabola) Phương trình tổng quát : y = ax2 + bx+ c; a 6= 0- Tọa độ đỉnh x = −b2a, y = 4ac−b24a- D1 là miền thỏa điều kiện: y > ax2 + bx+ c- D2 là miền thỏa điều kiện: y ay2 + by + c- D2 là miền thỏa điều kiện: x 0.l)x2 + y2a2+z23a2= 1.m) y =√x2 + z2, y = 4.n) x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2.p)x2a2+y2b2+z2c2= 1,x2a2+y2b2− z2c2= 0, z > 0.∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học tập kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Chương 4Tích phân mặt4.1. Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Tích phân mặt một số loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3. Bài bác tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1. Tích phân mặt nhiều loại 14.1.1. Định nghĩa và ký hiệu∫∫Sf(x, y, z)d
S. Với S là mặt bí mật trong R34.1.2. Phương thức tính tích phân mặt nhiều loại 1Đưa về tích phân bội 2 theo các công thức sau:a) S gồm phương trình z = z(x, y) :∫∫Sf(x, y, z)d
S =∫∫DOxyf(x, y, z(x, y))√1 + (z′x)2 +(z′y)2dxdy.Với DOxy là hình chiếu của khía cạnh S lên mặt Oxyb) S tất cả phương trình y = y(x, z) :∫∫Sf(x, y, z)d
S =∫∫DOxzf(x, y(x, z), z)√1 + (y′x)2 + (y′z)2dxdy.Với DOxz là hình chiếu của khía cạnh S lên mặt Oxzc) S bao gồm phương trình x = x(y, z) :∫∫Sf(x, y, z)d
S =∫∫DOyzf(x(y, z), y, z)√1 +(x′y)2+ (x′z)2dxdy.Với DOyz là hình chiếu của khía cạnh S lên phương diện Oyz26 Tích phân khía cạnh Th.s Đỗ Hoài Vũ
Ghi chú : giả dụ mặt S hợp bởi vì n phương diện S1, S2, ..., Sn có phương trình khác nhauthì ∫∫Sf(x, y, z)d
S =∫∫S1f(x, y, z)d
S + ...+∫∫Snf(x, y, z)d
S.Ví dụ1: Tínha) I =∫∫Sxyd
S.Với S là mặt gồm phương trình: z = 3x+ 4y thỏa điều kiện:(x, y) ∈ <0, 1>× <1, 2>.b) I =∫∫S(xy + y2 + yz)d
S.Với S là mặt gồm phương trình: x+ y + z = 1 thỏa điều kiện:(y, z) ∈ <0, 1>× <0, 2>.c) I =∫∫S(2xy + y2 + 2yz)d
S.Với S là mặt bao gồm phương trình: 2x+ y + 2z = 1 thỏa điều kiện:(x, z) ∈ <0, 1>×
S. Cùng với S là các mặt của hình vỏ hộp : <0, 1>× <0, 1>× <−1, 2>.e) I =∫∫S(2xy + y2 + 2yz)d
S.Với S là những mặt của hình vỏ hộp : <0, 1>× <0, 2>× <1− x− y, 2− x− y>.f) I =∫∫S(4y3+ 2x+ z)d
S.Với S là mặt bao gồm phương trình:x2+y3+z4= 1, thuộc 1 phần tám thứ nhất.g) I =∫∫Sxd
S. Cùng với S là những mặt của hình khối giới hạn bởi: x2 + y2 = 1, z = 1, z = 3.Ví dụ2: Tínha) I =∫∫S(3y2 + 3xz)d
S.Với S là mặt có phương trình: z = 3x thỏa điều kiện: x2 + y2 ≤ 1, x ≤ 0.b) I =∫∫S(2x2 − xy + 3)d
S.Với S là mặt bao gồm phương trình: y = 2x thỏa điều kiện: x2 + z2 ≤ 2x, z ≤ 0.∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học tập kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Th.s Đỗ Hoài Vũ 4.1. Tích phân mặt nhiều loại 1 27c) I =∫∫Sd
S.Với S là mặt tất cả phương trình: x+ 2y + z = 0 thỏa điều kiện: y2 + z2 ≤ 6, y ≥ 4.d) I =∫∫Sd
S√1 + 4y2 + 16z2Với S là mặt bao gồm phương trình: x = y2 + 2z2 = 0 thỏa điều kiện: y2 + z2 ≤ 4, z ≤ |x|.Ví dụ3: Tínha) I =∫∫S(x2 − xz + 1)d
S.Với S là mặt bao gồm phương trình: z = 3x thỏa điều kiện:x2a2+y2b2≤ 1, x ≤ 0.b) I =∫∫S(2x2 − xy + 3)d
S.Với S là mặt có phương trình: 3x+ 4z − y = 0 thỏa điều kiện:x2a2+z2b2≤ 1, z ≤ 0, x ≤ 0.c) I =∫∫Syd
S.Với S là các mặt của hình khối số lượng giới hạn bởi:y2a2+z2b2≤ 1, z = 1, z = 3.d) I =∫∫S√1 + 4x2 + y2d
S.Với S là mặt gồm phương trình: z =√x2 + y2 thỏa điều kiện:x2a2+y2b2≤ 1, z ≤ 0.Ví dụ4: Tínha) I =∫∫S(x2 + y2 + z2)d
SVới S là mặt bao gồm phương trình: x2 + y2 + z2 = 1.b) I =∫∫Sd
S√1 + 4x2 + 4y2Với S là mặt bao gồm phương trình: z = x2 + y2, thỏa điều kiện: 0 ≤ z ≤ 4.c) I =∫∫S√1 + x2 + y2d
S.Với S là mặt tất cả phương trình: 2z = x2 + y2, thỏa điều kiện: x2 + y2 + z2 ≤ 4z.∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇28 Tích phân phương diện Th.s Đỗ Hoài Vũd) I =∫∫S√2− x2 − y2d
S.Với S là mặt gồm phương trình: x2 + y2 + z2 = 2, thỏa điều kiện: z ≥√x2 + y2.4.1.3. Ứng dụng của tích phân mặt các loại 1.a) diện tích mặt S ∫∫Sd
Sb) khối lượng mặt S không đồng chất
Xét mặt S làm bởi vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng màn biểu diễn bởihàm liên tiếp ρ(x, y, z). Khi đó cân nặng của S được xem theo công thức:m
S =∫∫Sρ(x, y, z)dxdyc) Tọa độ trung tâm của phương diện S không đồng chất
Xét mặt S có tác dụng bởi vật tư không đồng chất có trọng lượng riêng trình diễn bởihàm liên tục ρ(x, y, z). Lúc ấy tọa độ trong tim G của S vào hệ tọa độ Oxyz đượctính bởi vì công thứcx
G =∫∫∫Sxρ(x, y, z)dxdydzm
S; y
G =∫∫∫Syρ(x, y, z)dxdydzm
S; z
G =∫∫∫Szρ(x, y, z)dxdym
SVí dụ: Tínha) diện tích mặt S có phương trình: x+ 3 = 2y thỏa : y2 ≥ x2 + z2.b) diện tích mặt S tất cả phương trình: z =√x2 + y2 thỏa : x2 + y2 ≤ 4x.c) diện tích mặt S bao gồm phương trình: 2x− 2y + z = 3 thỏa : x24+y21≤ 1.d) diện tích mặt S có phương trình:√2x− y + z = 3 thỏa : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x+ y ≤ 1.e) khối lượng mặt S có phương trình: z =x2 + y22thỏa : 0 ≤ z ≤ 2.Biết hàm trọng lượng riêng là ρ(x, y, z) = z.f) Tọa độ giữa trung tâm mặt S tất cả phương trình: z = 2− x2 + y22thỏa : z ≥ 0.4.2. Tích phân mặt loại 24.2.1. Định nghĩa và ký hiệu
I =∫∫SP (x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dxdz +R(x, y, z)dxdy. Với S là mặt kín đáo trong R3∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học tập kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Th.s Đỗ Hoài Vũ 4.2. Tích phân mặt loại 2 294.2.2. Cách thức tính tích phân mặt nhiều loại 2a) Đưa về tích phân bội hai:+ Tính các tích phân :I1 =∫∫S: x=x(y,z)P (x, y, z)dydz = ±∫∫DOyz
P (x(y, z), y, z)dydz
I2 =∫∫S: y=y(x,z)Q(x, y, z)dxdz = ±∫∫DOxz
Q(x, y(x, z), z)dxdz
I3 =∫∫S: z=z(x,y)R(x, y, z)dxdz = ±∫∫DOxy
R(x, y, z(x, y))dxdz+ kết luận : I = I1 + I2 + I3.Chú ý:I1 =∫∫DOyz
Pdydz. Nếu góc giữa véc tơ pháp con đường hợp với trục Ox nhọn.−∫∫DOyz
Pdydz. Nếu như góc giữa véc tơ pháp tuyến hợp với trục Ox tù.0 ví như véc tơ pháp tuyến đường vuông góc và trục Ox.I2 =∫∫DOxz
Qdxdz. Giả dụ góc giữa véc tơ pháp đường hợp cùng trục Oy nhọn.−∫∫DOxz
Qdxdz. Trường hợp góc giữa véc tơ pháp tuyến hợp cùng trục Oy tù.0 nếu véc tơ pháp con đường vuông góc với trục Ox.I3 =∫∫DOxy
Rdxdy. Trường hợp góc giữa véc tơ pháp đường hợp với trục Oz nhọn.−∫∫DOxy
Rdxdy. Nếu như góc thân véc tơ pháp đường hợp cùng trục Oz tù.0 giả dụ véc tơ pháp tuyến đường vuông góc cùng trục Ox.Ghi chú : nếu mặt S hợp do n phương diện S1, S2, ..., Sn tất cả phương trình khác biệt thìtính tích phân I bên trên từng khía cạnh Si kế tiếp cộng kết quả lại.∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học tập kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇30 Tích phân mặt Th.s Đỗ Hoài Vũ
Ví dụ2: Tínha) I =∫∫Sy2zdxdy + yx2dxdz + (z3 + 2y)dydz. Cùng với S là mặt đúng theo bởi các mặt
S1 : x2 + y2 = 4 (lấy phía ngoài), S2 : z = x2 + y2 (lấy phía trên).b) I =∫∫S(y − z)dydz + (z − x)dzdx+ (x2 + y2)dxdy). Cùng với S là mặt dưới của mặtz2 = x2 + y2 thỏa đk : 1 ≤ z ≤ 2.4.3. Bài xích tập∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ học tập kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇
Phép tính vi phân hàm n biến; tích phân bội hai; tích phân bội ba; tích phân mặt;... Là hầu như nội dung thiết yếu mà "Bài giảng Toán cao cấp A3" đào bới trình bày. Mong muốn tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của những bạn.
ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN TỔ BỘ MÔN TOÁNBÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A3 cần sử dụng cho bậc Đại học Biên soạn: Th.s Đỗ Hoài Vũ học kỳ 3. Năm học: 2010-2011Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Chương 1. Phép tính vi phân hàm n biến đổi 3 1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Nắm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1. Những cách biểu diễn hàm n biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2. Đạo hàm riêng của hàm 2 biến chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3. Đạo hàm riêng v.i.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.4. Đạo hàm tất cả hổn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.5. Vi phân cung cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.6. Phương pháp Taylor của hàm hai phát triển thành . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.7. Rất trị của hàm hai phát triển thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Bài bác tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Chương 2. Tích phân bội nhì 12 2.1. Con kiến thức sẵn sàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1. Bảng nguyên hàm hàm số một biến. . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2. Phương thức tính tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3. Bí quyết vẽ một số đường cơ phiên bản trong khía cạnh phẳng tọa độ Oxy. . 13 2.2. Tóm tắt kim chỉ nan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1. Định nghĩa và ký kết hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2. Một vài tính hóa học của tích phân bội nhì . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3. Cách thức tính tích phân bội nhì . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.4. Phương thức đổi vươn lên là trong tích phân bội hai. . . . . . . . . . 15 2.2.5. Ứng dụng của tích phân bội hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Bài bác tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Chương 3. Tích phân bội cha 19 3.1. Nắm tắt kim chỉ nan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.1. Định nghĩa và ký kết hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.2. Một trong những tính hóa học của tích phân bội bố . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.3. Phương pháp tính tích phân bội cha . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.4. Phương pháp đổi trở thành trong tích phân bội ba. . . . . . . . . . đôi mươi 3.1.5. Ứng dụng của tích phân bội ba. . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Mục lục Th.s Đỗ Hoài Vũ
Chương 4. Tích phân mặt 25 4.1. Tích phân mặt các loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.1. Định nghĩa và ký kết hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.2. Phương thức tính tích phân mặt các loại 1 . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.3. Ứng dụng của tích phân mặt các loại 1. . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2. Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.1. Định nghĩa và cam kết hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.2. Phương thức tính tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . 29 4.3. Bài xích tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Chương 1Phép tính vi phân hàm n biến đổi 1.1. Loài kiến thức sẵn sàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Cầm tắt định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Bài xích tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1. Kiến thức sẵn sàng Cần lưu giữ bảng đạo hàm và các quy tắc đạo hàm của hàm một đổi mới số.1.2. Nắm tắt lý thuyết1.2.1. Các cách biểu diễn hàm n vươn lên là -Biểu diễn dạng bảng (không xét trong bài bác giảng). - trình diễn dạng biểu thức.Ví dụ1: x+y
Xem thêm:
Hàm hai đổi thay z = f (x, y) = x -Biểu diễn dạng phương trình ẩn.Ví dụ 2:Hàm hai biến hóa z=z(x,y) cho bởi phương trình ẩn x2 + y 2 + z 2 − 2xz = 0 - biểu diễn dạng hàm hợp.Ví dụ 3:Hàm hai vươn lên là z=z(x,y) biểu diễn thông qua u,v u = u(x, y) z = z(u, v); v = v(x, y)1.2.2. Đạo hàm riêng biệt của hàm 2 biến câu hỏi : mang lại hàm hai đổi mới z=z(x,y). Kiếm tìm zx0 ; zy0 Giải- nếu như z trình diễn dạng biểu thức thì lúc đạo hàm theo biến nào đang coi trở nên còn lại