Bài viết này Vted reviews đến chúng ta đọc triết lý và hạng của ma trận kèm những ví dụ cùng phân loại những dạng toán từ bỏ cơ bản đến nâng cao về hạng của ma trận:

*

1. Tìm hạng của ma trận đến trước

Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận $A = left( beginarray*20c 1&0& – 1&2& – 1 2& – 1&3&1&3 3&2&0& – 1&2 2&3& – 4&0& – 2 endarray right).$

*

Ví dụ 2: Cho $x,y,z$ là bố nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ tìm kiếm hạng của ma trận $A = left( beginarray*20c x&y&z y&z&x z&x&y endarray right).$

Giải. Theo vi – ét tất cả $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ cùng

Do kia $r(A)le 2.$ ngoài ra $D_12^12=xz-y^2Rightarrow y
D_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019y
Rightarrow D_12^12=-2019ne 0.$

Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận $A = left( beginarray*20c 1&2&3&4 – 1&3&0&1 2&4&1&8 1&7&6&9 0&10&1&10 endarray right)$ bằng phương pháp định thức bao quanh.

Bạn đang xem: Các dạng bài tập ma trận và cách giải

Giải. Có $D_12^12 = left| beginarray*20c 1&2 – 1&3 endarray right| = 5 ne 0;D_123^123 = left| beginarray*20c 1&2&3 – 1&3&0 2&4&1 endarray right| = – 25 ne 0;$

Kiểm tra các định thức cung cấp 4 phủ quanh định thức $D_123^123$ có

$D_1234^1234 = left| beginarray*20c 1&2&3&4 – 1&3&0&1 2&4&1&8 1&7&6&9 endarray right| = 0;D_1235^1234 = left| beginarray*20c 1&2&3&4 – 1&3&0&1 2&4&1&8 0&10&1&10 endarray right| = 0.$

Vậy $r(A)=3.$

Ví dụ 10: Tìm hạng của ma trận

Giải.

Ta xét các định thức cấp cho 5 bảo phủ định thức cấp cho 4 trên

Vậy $r(A)=4.$

2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số

Ví dụ 1: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( beginarray*20c 1&2& – 1& – 1 2&m + 4& – 2& – 1 3&m + 6& – 3&m – 3 endarray right)$ có hạng nhỏ tuổi nhất.

*

Ví dụ 2: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( beginarray*20c m&2& – 1&3 2&m&1&2 3&1&2&0 endarray right)$ gồm hạng nhỏ tuổi nhất.

*

Ví dụ 3: Tìm $a$ nhằm hạng của ma trận sau nhỏ nhất, với $A = left( beginarray*20c 3&1&4&1 a&2&3&1 3& – 1&1&0 3&3&7&2 endarray right).$

*

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( beginarray*20c 1&2&3&4 m&1&2& – 1 3&1& – 4&2 endarray right).$ minh chứng rằng với đa số $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_123^234 = left| beginarray*20c 2&3&4 1&2& – 1 1&4&2 endarray right| = 15 ne 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$

Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( beginarray*20c 2&3&1&2 – 1&2&3&4 – 1&9&10&m endarray right).$

*

Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( beginarray*20c 1&m& – 1&2 2& – 1&m&5 1&10& – 6&1 endarray right).$

*

Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( beginarray*20c 2&1&m&3 – 1&2&1&4 4&3&2&1 – 3&4&1&2 endarray right).$

Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( beginarray*20c 7 – m& – 12&6 10& – 19 – m&10 12& – 24&13 – m endarray right).$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận sau

$A = left( beginarray*20c 1&2&…&n – 1&n n + 1&n + 2&…&n + n – 1&2n …&…&…&…&… n^2 – 2n + 1&n^2 – 2n + 2&…&n^2 – 2n + n – 1&n^2 – n n^2 – n + 1&n^2 – n + 2&…&n^2 – n + n – 1&n^2 endarray right).$

Ví dụ 10: Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( beginarray*20c 1& – 1&2&3 – 1&1&3& – 1 1& – 1&7&m endarray right)$ nhỏ dại nhất.

Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( beginarray*20c m&2&2&2 2&m&2&2 2&2&m&2 2&2&2&m endarray right).$

Giải.

$beginarrayl det (A) = left| beginarray*20c m&2&2&2 2&m&2&2 2&2&m&2 2&2&2&m endarray right| = left| beginarray*20c m + 6&2&2&2 m + 6&m&2&2 m + 6&2&m&2 m + 6&2&2&m endarray right|(c_4 + c_3 + c_2 + c_1) = (m + 6)left| beginarray*20c 1&2&2&2 1&m&2&2 1&2&m&2 1&2&2&m endarray right| = (m + 6)left| beginarray*20c 1&2&2&2 0&m – 2&0&0 0&0&m – 2&0 0&0&0&m – 2 endarray right|beginarray*20c – d1 + d_2 – d_1 + d_3 – d_1 + d_4 endarray = (m – 2)^3(m + 6). Endarray$

Nếu $det (A)ne 0Leftrightarrow mnotin left 2,-6 rightRightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6Rightarrow r(A)=3$ (bạn hiểu tự kiểm tra).

Ví dụ 12: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( beginarray*20c 1&2&m&m + 1 2&m + 2&2m + 1&2m + 4 1&4 – m&m – 1&2m – 4 endarray right)$ tất cả hạng bằng 2.

*

Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ nhằm ma trận $A = left( beginarray*20c 2&2 – a&4&a^2 1&1 – a&2&0 3&3 – 2a&8 – a&4 endarray right)$ có hạng nhỏ nhắn nhất.

*

Ví dụ 14. Tìm $m$ nhằm hạng của ma trận $A = left( beginarray*20c 3&m&0&3 m&2&1&2 2&1& – 2&2 endarray right)$ bự nhất.

W.png" alt="*">