Có không ít sách giáo khoa với tài liệu tìm hiểu thêm viết về các chủ đề này. Tuy nhiên với phương thức đào tạo từ xa có những đặc điểm riêng, đòi hỏi học viên làm việc hòa bình nhiều hơn, vì vậy cần phải tài giỏi liệu gợi ý học tập tương thích cho từng môn học. Tập tài liệu hướng dẫn học môn toán cao cấp A3
Bạn đang xem: Toán Cao Cấp A3 Pdf
ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com 3. Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích TOÁN CAO C p A3 Đ I H C A3 hàm nhiều biến đổi – NXB Giáo dục. 4. Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2) PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH PHÂN CH – NXB Giáo dục. S ti t: 45 ti 5. Đặng Văn Vinh – Slide bài xích giảng Toán A 3 ----- – ĐH Bách khoa Tp.HCM. Chương 1. Hàm số nhiều trở thành số 6. Nguyễn Thừa đúng theo – Giải tích (tập 1, 2) Chương 2. Tích phân bội – NXB ĐHQG Hà Nội. 7. Nguyễn Thủy Thanh – bài tập Giải tích (tập 2) Chương 3. Tích phân đường – Tích phân phương diện – NXB Giáo dục. Chương 4. Phương trình vi phân 8. James Stewart – Calculus concepts and contexts. Tài liệu xem thêm Biên so n: ThS. Đoàn vương Nguyên Biên 1. Nguyễn vinh hiển – Giáo trình Toán thời thượng A3 tải về Slide bài bác gi ng Toán A3 t i download ng A3 – ĐHCN TP. HCM. 2. Đỗ Công Khanh – Giải tích hàm nhiều trở nên dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com (tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP. HCM. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi §1. Có mang cơ bản • Miền phẳng D của cả biên ∂D được hotline là miền đóng, §2. Đạo hàm riêng – Vi phân miền phẳng D không nói biên ∂D là miền mở. §3. Khai triển Taylor của hàm hai đổi thay số • Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1 §4. Cực trị của hàm hai vươn lên là số mặt đường cong bên trong D nối 2 điểm ngẫu nhiên thuộc D . ………………………………………………………….. Miền liên thông có biên là một trong những đường cong kín được gọi §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN là miền đơn liên (hình a); gồm biên là các đường cong bí mật rời nhau là miền nhiều liên (hình b). 1.1. Những định nghĩa a) Miền phẳng • Trong khía cạnh phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi những đường cong kín đáo được điện thoại tư vấn là miền phẳng. Tập hợp những đường cong bí mật giới hạn D được điện thoại tư vấn là biên của D , ký kết hiệu ∂D hay Γ . Đặc biệt, khía cạnh phẳng Oxy được coi là miền phẳng cùng với biên sinh sống vô cùng. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi b) bên cạnh của một điểm c) Hàm số hai biến hóa số • Trong phương diện phẳng Oxy cho tập D ⊂ ℝ2 . • khoảng cách giữa 2 điểm M1 (x1, y1 ), M 2 (x 2 , y2 ) là: tương xứng f : D → ℝ cho tương xứng mỗi (x , y ) ∈ D ( ) (x1 − x 2 ) + (y1 − y2 ) . 2 2 với một giá trị z = f (x , y ) ∈ ℝ nhất được hotline là d M 1 , M 2 = M 1M 2 = hàm số hai biến đổi số x , y . • Tập D ⊂ ℝ2 được điện thoại tư vấn là miền xác minh (MXĐ) của hàm • hình tròn trụ S (M , ε) mở có tâm ε số f (x , y ), ký hiệu là Df . Miền cực hiếm của hàm f (x , y ) là: M (x , y ), nửa đường kính ε > 0 được • G = z = f (x , y ) ∈ ℝ (x , y ) ∈ Df . M hotline là một cạnh bên của điểm M . Chăm chú Nghĩa là: • vào trường thích hợp xét hàm số f (x , y ) nhưng không nói gì M 0 (x 0 , y 0 ) ∈ S (M , ε) ⇔ (x − x 0 )2 + (y − y0 )2 ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi 1.2. Giới hạn của hàm số hai phát triển thành số • Hàm có tương đối nhiều hơn hai trở thành được định nghĩa tương tự. A) Điểm tụ • trong mpOxy mang lại dãy điểm M n (x n , yn ), n = 1, 2, ... VD 1. • Hàm số f (x , y ) = 3x 2y − cos xy bao gồm Df = ℝ2 . Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là vấn đề tụ của dãy trên ví như mọi ở bên cạnh của M 0 các chứa vô số bộ phận của dãy. • Hàm số z = 4 − x 2 − y 2 tất cả MXĐ là hình trụ đóng • Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là điểm tụ của tập D ⊂ ℝ 2 chổ chính giữa O(0; 0), nửa đường kính R = 2 . Giả dụ mọi lân cận của điểm M 0 các chứa vô vàn điểm • Hàm số z = ln(4 − x 2 − y 2 ) gồm MXĐ là hình tròn mở nằm trong D . B) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội) trọng tâm O(0; 0), nửa đường kính R = 2 . • Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được call là số lượng giới hạn của dãy điểm • Hàm số z = f (x , y ) = ln(2x + y − 3) có MXĐ là nửa M n (x n , yn ), n = 1, 2,... Trường hợp M 0 (x 0 , y 0 ) là vấn đề tụ duy mp mở có biên d : 2x + y − 3 = 0 , không đựng O . độc nhất vô nhị của dãy. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi x →0 n →∞ ký kết hiệu là: lim M n = M 0 tốt M n M 0 . → xy xy y →0 Giải. 0 ≤ f (x , y ) = ≤ = x → 0 . N →∞ x2 + y2 y2 • Hàm số f (x, y ) có số lượng giới hạn là L ∈ ℝ ∪ ±∞ khi Mn f (x , y ) = 0 . Lim Vậy dần đến M 0 trường hợp lim f (xn , yn ) = L . Ký kết hiệu: (x ,y )→(0,0) n →∞ lim f (x , y ) = f (x , y ) = lim f (M ) = L. Lim nhấn xét x →x 0 (x ,y )→(x 0 ,y0 ) M →M 0 • nếu đặt x = x 0 + r cos ϕ, y = y 0 + r sin ϕ thì: y →y0 (x , y ) → (x 0 , y0 ) ⇔ r → 0 . 2x 2y − 3x − 1 3 =− . Lim VD 2. Sin(x 2 + y 2 ) xy 2 + 3 2 (x , y )→(1,−1) lim VD 4. Search . X 2 + y2 (x ,y )→(0,0) xy f (x , y ), cùng với f (x , y ) = lim VD 3. Tìm . Giải. Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có: (x ,y )→(0,0) x 2 + y2 Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi c) số lượng giới hạn lặp sin(x 2 + y 2 ) sin r 2 = lim = 1. Lim • số lượng giới hạn theo từng đổi mới khi M n dần cho M 0 của hàm số x 2 + y2 r2 (x ,y )→(0,0) r →0 f (x , y ) được hotline là số lượng giới hạn lặp. 2xy VD 5. đến hàm số f (x , y ) = . Khi x → x 0 trước, y → y 0 sau thì ta viết: x + y2 2 lim lim f (x , y ). Lim f (x , y ) không tồn tại. Chứng minh rằng y →y 0 x →x 0 (x ,y )→(0,0) lúc y → y 0 trước, x → x 0 sau thì ta viết: Giải. Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có: lim lim f (x , y ). X →x 0 y →y 0 r 2 sin 2ϕ sin x 2 − sin y 2 f (x , y ) = lim = sin 2ϕ. Lim VD 6. Xét hàm số f (x , y ) = . Ta có: r2 (x ,y )→(0,0) r →0 x 2 + y2 vì chưng giới hạn phụ thuộc vào vào ϕ đề xuất không duy nhất. − sin y 2 lim lim f (x , y ) = lim = −1 , Vậy lim f (x , y ) ko tồn tại. Y2 y →0 x → 0 y →0 (x ,y )→(0,0)Toán cao c p A3 Đ i h c 2ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi sin x 2 dấn xét lim lim f (x , y ) = lim = 1. • nếu lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ) thì không tồn x2 x →0 y → 0 x →0 y →y0 x →x 0 x →x 0 y →y 0 Vậy lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ). Lim f (x , y ). Trên y →0 x →0 x →0 y →0 (x ,y )→(x 0 ,y0 ) • Sự tồn tại số lượng giới hạn lặp ko kéo theo sự vĩnh cửu giới • Định lý hạn bội và ngược lại. Trong ℝ2 cho hình vuông vắn H có một đỉnh là M 0 (x 0 , y 0 ) 1.3. Hàm số tiếp tục và hàm số f (x , y ) khẳng định trong H . • Hàm số f (x , y ) tiếp tục tại M 0 (x 0 , y0 ) ∈ D ⊂ ℝ2 trường hợp f (x , y ) = L ∈ ℝ và mỗi y ∈ Y lim nếu tồn trên (x ,y )→(x 0 ,y 0 ) f (x , y ) = f (x 0 , y 0 ). Lim vĩnh cửu ϕ(y ) = lim f (x , y ) ∈ ℝ thì: (x ,y )→(x 0 ,y0 ) x →x 0 • Hàm số f (x , y ) thường xuyên trên tập D ⊂ ℝ2 giả dụ nó liên tiếp lim lim f (x , y ) = lim ϕ(y ) = L . Y →y 0 x →x 0 y →y 0 tại đông đảo điểm trực thuộc D . Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi chăm chú §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN Hàm số f (x , y ) tiếp tục trên miền đóng giới nội D thì nó 2.1. Đạo hàm riêng rẽ a) Đạo hàm riêng cấp 1 đạt giá bán trị lớn nhất (max) và nhỏ dại nhất (min) bên trên D . • đến hàm số f (x , y ) xác định trên miền mở D ⊂ ℝ 2 sin x 2 − sin y 2 VD 7. Xét sự liên tục của f (x , y ) = đựng điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Cố định y0 , nếu như hàm số f (x , y 0 ) . X 2 + y2 gồm đạo hàm tại x 0 thì ta hotline đạo hàm đó là đạo hàm riêng biệt Giải. Cùng với (x , y ) ≠ (0, 0) thì hàm số f (x , y ) xác định nên theo biến đổi x của hàm số f (x , y ) trên (x 0 , y 0 ). Liên tục. ∂f cam kết hiệu: fx (x 0 , y 0 ) xuất xắc fx/ (x 0 , y 0 ) hay (x , y ). Trên (0, 0) thì lim f (x , y ) không tồn trên (VD 6). ∂x 0 0 (x ,y )→(0,0) f (x , y0 ) − f (x 0 , y0 ) Vậy hàm số f (x , y ) liên tiếp trên ℝ2 (0, 0). / Vậy fx (x 0 , y0 ) = lim . X − x0 x →x 0 …………………………………………………………… Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi x2 + 1 • Tương tự, đạo hàm riêng rẽ theo biến chuyển y trên (x 0 , y 0 ) là: VD 2. Tính các đạo hàm riêng biệt của z = ln . X 2 + y2 + 1 f (x 0 , y ) − f (x 0 , y0 ) fy/ (x 0 , y0 ) = lim . Y − y0 x y →y 0 VD 3. Tính những đạo hàm riêng rẽ của z = cos trên (π; 4). Y chăm chú ∂f df 2 VD 4. Tính các đạo hàm riêng rẽ của f (x , y, z ) = e x y sin z . • ví như f (x ) là hàm số một biến x thì fx/ = = . ∂x dx • Hàm số nhiều hơn thế hai biến tất cả định nghĩa tương tự. B) Đạo hàm riêng cấp cao • Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số fx/ (x , y ), fy/ (x , y ) VD 1. Tính những đạo hàm riêng biệt của hàm số: f (x , y ) = x 4 − 3x 3y 2 + 2y 3 − 3xy trên (−1; 2). được call là những đạo hàm riêng cấp ba của f (x , y ).Toán cao c p A3 Đ i h c 3ĐH Công nghi p thành phố hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi ký kết hiệu: VD 5. Tính các đạo hàm riêng trung học phổ thông của hàm số: ∂ ∂f ∂ 2 f f (x , y ) = x 3ey + x 2y 3 − y 4 tại (−1; 1). F // = fxx = ( fx ) = = , ∂x ∂ x 2 ∂x 2 x x VD 6. Mang lại hàm số f (x , y ) = x 5 + y 4 − x 4y 5 . ∂ ∂f ∂ 2 f ( )y = // = fyy = fy = f , giá trị của đạo hàm riêng cung cấp năm f (5)2 (1; −1) là: ∂y ∂ y ∂y 2 y2 3 xy ∂ ∂f A. F (5)2 (1; −1) = 480 ; B. F (5)2 (1; −1) = −480 ; 2 = ∂ f , fxy = fxy = ( fx ) // = 3 3 xy xy ∂y ∂ x ∂y ∂x y C. F (5)2 (1; −1) = 120 ; D. F (5)2 (1; −1) = −120 . 3 3 ∂ ∂f xy xy 2 = ∂ f . ( )x // fyx = fyx = fy = ∂x ∂ y ∂x ∂y • Định lý Schwarz ví như hàm số f (x , y ) có những đạo hàm riêng biệt fxy/ , fyx liên / // • Hàm số nhiều hơn nữa 2 trở nên và đạo hàm riêng biệt cấp cao hơn nữa tục trong miền mở D ⊂ ℝ 2 thì fxy/ = fyx . / // 2 gồm định nghĩa tương tự. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi +) 2x −y b) Định nghĩa Đạo hàm riêng z (m−2n n 2 (m ≥ 2) của z = e VD 7. Là: xm y x • nếu trong ở bên cạnh S (M 0 , ε) với số gia ∆x , ∆y nhưng mà số n m +n 2x −y B. (−1)m 2m +n e 2x −y ; A. (−1) 2 e ; gia ∆f tương ứng hoàn toàn có thể viết được dưới dạng: C. (−1)m 2m e 2x −y ; D. (−1)n 2m e 2x −y . ∆f = A.∆x + B.∆y + O (r ), r = (∆x )2 + (∆y )2 , 2.2. Vi phân trong đó A, B là gần như số chỉ dựa vào vào điểm 2.2.1. Vi phân cấp cho 1 M 0 (x 0 , y 0 ) và hàm f (x , y ), không phụ thuộc ∆x , ∆y a) Số gia của hàm số thì đại lượng A.∆x + B.∆y được hotline là vi phân của • cho hàm số f (x , y ) xác định trong kề bên S (M 0 , ε) hàm số f (x , y ) tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Của điểm M 0 (x 0 , y0 ). Mang đến x một số gia ∆x với y một • khi đó, f (x , y ) được hotline là khả vi trên điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Số gia ∆y , khi ấy hàm f (x , y ) có tương ứng số gia: ký hiệu là: df (x 0 , y 0 ) = A.∆x + B.∆y. ∆f = f (x 0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f (x 0 , y0 ). Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi c) Định lý dấn xét • Xét hồ hết điểm M (x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) di chuyển • giả dụ hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng rẽ trong cạnh bên trên đường đi qua M 0 tuy nhiên song O x . Khi đó ∆ y = 0 : nào kia của (x 0 , y 0 ) và các đạo hàm riêng biệt này tiếp tục ∆ f = f (x 0 + ∆ x , y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) = A.∆ x + O (∆ x ) trên (x 0 , y 0 ) thì f (x , y ) khả vi tại (x 0 , y 0 ). ∆f = A ⇒ A = fx/ (x 0 , y 0 ) . ⇒ lim VD 8. Mang lại hàm f (x , y ) = x 2e x −y − y 5 . Tính df (1; −1). ∆x → 0 ∆ x ∆f 2 −y = B ⇒ B = fy/ (x 0 , y 0 ) . Sin(xy 2 ). VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm z = e x Tương tự, lim ∆y → 0 ∆ y Suy ra df (x , y ) = fx/ (x , y ).∆ x + fy/ (x , y ).∆ y . 2.2.2. VI PHÂN CẤP CAO a) Vi phân cung cấp 2 • Xét f (x , y ) = x ⇒ df (x , y ) = ∆x ⇒ dx = ∆x . • giả sử f (x , y ) là hàm khả vi với x , y là các biến độc Tương tự, dy = ∆y . Vậy: lập. Những số gia dx = ∆x , dy = ∆y tùy ý hòa bình với df (x , y ) = fx/ (x , y )dx + fy/ (x , y )dy. X , y đề nghị được coi là hằng số đối với x , y .Toán cao c phường A3 Đ i h c 4ĐH Công nghi p tp hcm Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi • Vi phân của df (x , y ) được điện thoại tư vấn là vi phân cung cấp 2 của b) Vi phân cấp cho n f (x , y ). Cam kết hiệu với công thức: n ( ) ∑C d n f = d d n −1 f = dx k dy n −k . K (n ) f d f = d (df ) = fx′′dx + 2 fxydxdy + fy′′dy . N x k y n −k ′′ 2 2 2 k =0 2 2 (n ) (n ) f (0 )n = f (nn ) , n =f f trong số ấy , chú ý x ny 0 xn xy y • trường hợp x , y là những biến không tự do (biến trung gian) 0 0n dx dy = dx , dx dy = dy n . N n x = x (ϕ, ψ ), y = y(ϕ, ψ ) thì bí quyết trên không thể đúng nữa. Dưới đây ta chỉ xét trường đúng theo x , y độc lập. VD 12. Tính vi phân cung cấp 3 của hàm số f (x , y ) = x 3y 2 . VD 10. Mang lại hàm số f (x , y ) = x 2y 3 + xy 2 − 3x 3y 5 . Tính vi phân cấp hai df 2 (2; −1). VD 13. Tính vi phân d 3z của hàm số z = e 2x cos 3y . VD 11. Tính vi phân cung cấp 2 của hàm f (x , y ) = ln(xy 2 ). Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi 2.3. Đạo hàm của hàm số phù hợp Tính trực tiếp như sau: a) Hàm hợp với một biến tự do ω(t ) = (3t 2 − t )2 sin t • cho f (x , y ) là hàm khả vi so với x , y và x , y là hồ hết ⇒ ω ′(t ) = 2(3t 2 − t )(6t − 1)sin t + (3t 2 − t )2 cos t hàm khả vi đối với biến độc lập t . Lúc đó, hàm đúng theo của = 2xy(6t − 1) + x 2 cos t . Biến chuyển t là ω(t ) = f (x (t ), y(t )) khả vi. Ta có: df dx dy VD 15. Mang đến f (x, y ) = ln(x 2 + y 2 ), y = sin2 x . Tính . ω′(t ) = fx/+ fy/ . Dx dt dt Giải VD 14. Tính ω ′(t ) cùng với hàm số f (x , y ) = x 2y và / / = ln(x 2 + y 2 ) + ln(x 2 + y 2 ) (sin 2 x )/ df x = 3t 2 − t, y = sin t . x y x dx dx dy Giải. ω ′(t ) = fx/ . + fy/ . 2x + 2y sin 2x 2x 2y sin 2x = + = dt dt . 2 2 2 2 x 2 + y2 x +y x +y = 2xy(3t 2 − t )t + x 2 (sin t )t = 2xy(6t − 1) + x 2 cos t . / / Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi b) Hàm phù hợp với hai biến tự do Giả sử những hàm trên mọi khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được: • mang đến f (x , y ) là hàm khả vi đối với x , y với x , y là phần đông Fx/ + Fz/ .z x = 0, Fy/ + Fz/ .zy = 0 . / / hàm khả vi so với hai biến chủ quyền ϕ, ψ . Lúc đó, hàm Fy/ Fx/ (F ) thích hợp của 2 đổi thay ϕ, ψ là ω(ϕ, ψ) = f (x (ϕ, ψ), y(ϕ, ψ)) / / / Vậy z x = − , zy = − ≠0 . Z Fz/ Fz/ khả vi. Ta có: ω/ = fx/ .x ϕ + fy/ .y ϕ , ω/ = fx/ .x ψ + fy/ .y ψ . / / / / ϕ ψ VD 16. đến hàm ẩn z (x , y ) thỏa phương trình: 2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) / / xyz = cos(x + y + z ). Tính z x , zy . • Hàm z(x , y ) xác định trên Dz ⊂ ℝ2 thỏa phương trình VD 17. Mang lại hàm ẩn z(x , y ) thỏa phương trình khía cạnh cầu: F (x , y, z (x , y )) = 0, ∀(x , y ) ∈ D ⊂ Dz (*) được call là / x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 . Tính zy . Hàm số ẩn nhị biến khẳng định bởi (*). ……………………………………………………Toán cao c phường A3 Đ i h c 5ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi triển khai Maclaurin §3. KHAI TRIỂN TAYLOR HÀM nhị BIẾN 3.1. Cách làm Taylor Tại lân cận O(0; 0), khai triển Maclaurin f (x , y ) là: cho hàm số f (x , y ) gồm đạo hàm riêng rẽ đến cung cấp n + 1 d n f (0; 0) df (0; 0) f (x , y ) = f (0; 0) + + ... + + O(ρ n ). Vào miền mở D đựng điểm M 0 (x 0 ; y 0 ). 1! n! giả sử N (x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) ∈ D với MN ⊂ D . Trong đó, dx = x , dy = y , ρ = x 2 + y 2 . Đặt dx = ∆x = x − x 0 , dy = ∆y = y − y 0 . Những khai triển Maclaurin hàm 1 biến yêu cầu nhớ khai triển Taylor hàm f (x , y ) ở sát bên điểm M 0 là: 1 = 1 + x + x 2 + ... + x n + O(x n ). D n f (M 0 ) 1) df (M 0 ) 1−x f (x , y ) = f (M 0 ) + + ... + + O(ρ n ). 1! n! x2 xn x 2) e x = 1 + + + O(x n ) . + ... + vào đó, ρ = (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 . 1! 2! n! Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi • df (x , y ) = fx′(x , y )dx + fy′(x , y )dy 2 3 4 xx x x + ... + O(x n ). 3) ln(1 + x ) = − + − 1 2 3 4 = y x ln ydx + xy x −1dy ⇒ df (1;1) = dy = y − 1; x2 x4 x6 + ... + O(x n ). 4) cos x = 1 − + − 2! 4 ! 6! • d 2 f (x , y ) = fx′′dx 2 + 2 fxydxdy + fy′′dy 2 ′′ x x3 x5 x7 2 2 5) sin x = − + − + ... + O(x n ). 1! 3! 5! 7 ! = y x ln2 ydx 2 + 2y x −1(x ln y +1)dxdy + x (x − 1)y x −2dy 2 3.2. Những ví dụ ⇒ d 2 f (1;1) = 2dxdy = 2(x − 1)(y − 1). VD 1. Triển khai Taylor ở cạnh bên điểm (1; 1) của hàm số f (x , y ) = y x đến số hạng bậc hai. Vậy y x = 1 + (y − 1) + (x − 1)(y − 1) + O(ρ 2 ), Giải. Ta có: ρ = (x − 1)2 + (y − 1)2 . • f (1;1) = 1; Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi §4. CỰC TRỊ CỦA HÀM hai BIẾN SỐ VD 2. Khai triển Maclaurin của hàm số 4.1. Định nghĩa (cực trị địa phương) f (x , y ) = cos(x 2 + y 2 ) đến số hạng bậc 4. • Hàm số z = f (x , y ) đạt rất trị địa phương (gọi tắt là cực trị) trên M 0 (x 0 , y 0 ) nếu với mọi điểm M (x , y ) khá 2 VD 3. Khai triển Maclaurin của hàm số z = e x sin y đến gần dẫu vậy khác M 0 thì hiệu ∆ f = f (x , y ) − f (x 0 , y 0 ) số hạng bậc 5. Có dấu không đổi. • trường hợp ∆ f > 0 thì f ( x 0 , y 0 ) được hotline là quý giá cực đái 2 VD 4. Triển khai Maclaurin của hàm số z = (1 + y )x mang đến và M 0 là điểm cực tiểu của z = f ( x , y ) . Số hạng bậc 6. • nếu ∆ f ĐH Công nghi p tp hcm Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi lúc đó: 4.2. ĐỊNH LÝ AC − B 2 > 0 a) Điều kiện đề nghị • giả dụ ⇒ f (x , y ) đạt cực tiểu trên M 0 . • ví như hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị trên M 0 (x 0 , y0 ) và A>0 tại đó hàm số tất cả đạo hàm riêng biệt thì: AC − B 2 > 0 • giả dụ fx′(x 0, y 0 ) = fy′(x 0, y 0 ) = 0. ⇒ f (x , y ) đạt cực lớn tại M 0 . A 0, y > 0). X y • Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f (x , y ) ta dùng xác định đúng là: A. Z đạt rất tiểu tại M (2; 5) và cực hiếm cực tè z = 39 . Cách thức khử hoặc nhân tử Lagrange. B. Z đạt cực tiểu trên M (5; 2) và giá trị cực tè z = 30 . A) phương pháp khử C. Z đạt cực lớn tại M (2; 5) và giá trị cực to z = 39 . • từ bỏ phương trình ϕ(x , y ) = 0 ta rút x hoặc y núm vào D. Z đạt cực đại tại M (5; 2) với giá trị cực lớn z = 30 . F (x , y ), kế tiếp tìm cực trị của hàm một biến.Toán cao c p A3 Đ i h c 7ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi VD 7. Kiếm tìm điểm cực trị của hàm z = x 2y thỏa điều kiện: • bước 3. Tính vi phân cung cấp 2 tại M 0 (x 0 , y 0 ) ứng cùng với λ 0 : x − y + 3 = 0. ′′ ′′ ′′ d 2L(M 0 ) = Lx 2dx 2 + 2Lxydxdy + Ly 2dy 2 . B) cách thức nhân tử Lagrange những vi phân dx , dy nhờ vào vào điều kiện ràng buộc: fy/ fx/ d ϕ(x , y ) = ϕ ′ (x , y )dx + ϕ ′ (x , y )dy = 0 (1) tại điểm cực trị (x , y ) của f , điện thoại tư vấn λ = − =− là 00 x00 y00 ϕ/ / ϕy (dx )2 + (dy )2 > 0 (2). X nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực hiện các bước: • bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có: • cách 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange): trường hợp d 2L(M 0 ) > 0 thì f (x , y ) đạt cực tiểu trên M 0 . L(x , y, λ ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ). Giả dụ d 2L(M 0 ) 0 . Thỏa điều kiện ϕ(x , y ) = 0 (chỉ phải tìm điểm dừng). Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 2. Tích phân b i Ch 1. Nhi Ch 2. §1. Tích phân bội nhị (tích phân kép) • bước 3. Cực hiếm max f (x , y ), min f (x , y ) khớp ứng là §2. Tích phân bội ba D D §3. Ứng dụng của tích phân bội giá trị mập nhất, nhỏ dại nhất trong toàn bộ các quý hiếm sau: ………………………….. F (M 1 ), ..., f (M m ), f (N 1 ),..., f (N n ), f (P1 ),..., f (Pp ). §1. TÍCH PHÂN BỘI nhì VD 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ dại nhất của hàm số 1.1. Bài bác toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) 3 • Xét hàm số z = f (x , y ) f (x , y ) = x 2 + y 2 trong miền D : x 2 − x + y 2 ≤ . 4 liên tục, ko âm với VD 13. Mang lại hàm số f (x , y ) = x 2 + y 2 − xy + x + y . Một mặt trụ có những Tìm giá chỉ trị lớn nhất và nhỏ dại nhất của f (x , y ) vào miền con đường sinh tuy nhiên song D : x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3 . Cùng với Oz , đáy là miền VD 14. Kiếm tìm max, min của z = sin x + sin y + sin(x +y ) phẳng đóng góp D trong π π mpOxy . Vào miền D : 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ . 2 2 ………………………………………………………Toán cao c p. A3 Đ i h c 8ĐH Công nghi p tp hcm Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. 1.2. Tích phân bội nhì • Để tính thể tích khối trụ, ta phân tách miền D thành n phần ko dẫm lên nhau ∆Si , i = 1; n . Diện tích s mỗi phần a) Định nghĩa • đến hàm số f (x , y ) khẳng định trên miền D đóng cùng bị cũng ký hiệu là ∆Si . Lúc đó, khối trụ cong được phân thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi phần ∆Si ta rước điểm ngăn trong khía cạnh phẳng Oxy . Chia miền D một biện pháp tùy ý thành n phần không dẫm M i (xi ; yi ) tùy ý cùng thể tích V của khối trụ là: lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si , i = 1; n . N V ≈ ∑ f (xi ; yi )∆Si . Mang n điểm tùy ý M i (x i ; yi ) ∈ ∆Si , i = 1; n . Khi đó, i =1 n • gọi di = max d (A, B ) A, B ∈ ∆Si là đường kính của I n = ∑ f (x i ; yi )∆Si được hotline là tổng tích phân của i =1 n ∑ f (xi ; yi )∆Si . ∆Si . Ta có: V = f (x , y ) trên D (ứng cùng với phân hoạch ∆Si và những điểm lim max d →0 i =1 i chọn M i ). Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. N ∫∫ f (x, y )dxdy , ta nói hàm số ∑ f (xi , yi )∆Si • ví như tồn trên tích phân • Nếu giới hạn I = lim mãi mãi hữu max di →0 i =1 D hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si và biện pháp chọn f (x , y ) khả tích bên trên miền D ; f (x , y ) là hàm dưới vết tích phân; x với y là các biến tích phân. điểm M i thì số thực I được call là tích phân bội hai của hàm số f (x , y ) bên trên miền D . Nhấn xét ∫∫ f (x , y )dS . Cam kết hiệu là: I = S (D ) = ∫∫ dxdy (diện tích của miền D ). D D nếu như f (x , y ) > 0 , thường xuyên trên D thì thể tích hình trụ có • chia miền D bởi các đường thẳng tuy nhiên song cùng với Ox , Oy ta được ∆Si = ∆x i .∆yi giỏi dS = dxdy . Các đường sinh song song cùng với Oz , nhị đáy số lượng giới hạn bởi các mặt z = 0 , z = f (x , y ) là V = ∫∫ f (x , y )dxdy . ∫∫ f (x, y)dS = ∫∫ f (x , y )dxdy. Vậy I = D D D Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. B) Định lý • đặc thù 3 Hàm f (x , y ) thường xuyên trong miền D đóng cùng bị chặn thì Nếu chia miền D thành D1, D2 vì đường cong tất cả diện khả tích vào D . Tích bằng 0 thì: ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy . 1.3. đặc thù của tích phân bội hai trả thiết rằng các tích phân tiếp sau đây đều tồn tại. D D1 D2 ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv . • tính chất 1. 1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH D D 1.4.1. Đưa về tích phân lặp • tính chất 2 a) Định lý (Fubini) ∫∫ < f (x, y ) ± g(x, y )>dxdy = ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; mang sử tích phân I = ∫∫ f (x , y )dxdy tồn tại, trong số đó D D D D ∫∫ kf (x , y )dxdy = k ∫∫ f (x , y )dxdy, k ∈ ℝ . D = (x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x ), D DToán cao c phường A3 Đ i h c 9ĐH Công nghi p thành phố hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. Y 2 (x ) để ý ∫ cùng với mỗi x ∈ thế định, f (x , y )dy tồn tại. 1) trường hợp miền D là hình chữ nhật, D = (x , y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d = ×
Xem thêm: Giải Bài Tập Bản Đồ Địa Lý 8 Bài 8: Tình Hình Phát Triển Kinh Tế
(xy′ ) 2 ∫ f (x , y )ds = + 1 dy. Và phía trong góc phần 8 trước tiên nối từ điểm A(0; 1; 0) L a đến điểm B(1; 0; 1).Toán cao c p A3 Đ i h c 20