Có không ít sách giáo khoa với tài liệu tìm hiểu thêm viết về các chủ đề này. Tuy nhiên với phương thức đào tạo từ xa có những đặc điểm riêng, đòi hỏi học viên làm việc hòa bình nhiều hơn, vì vậy cần phải tài giỏi liệu gợi ý học tập tương thích cho từng môn học. Tập tài liệu hướng dẫn học môn toán cao cấp A3




Bạn đang xem: Toán Cao Cấp A3 Pdf

*

ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com 3. Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích TOÁN CAO C p A3 Đ I H C A3 hàm nhiều biến đổi – NXB Giáo dục. 4. Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2) PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH PHÂN CH – NXB Giáo dục. S ti t: 45 ti 5. Đặng Văn Vinh – Slide bài xích giảng Toán A 3 ----- – ĐH Bách khoa Tp.HCM. Chương 1. Hàm số nhiều trở thành số 6. Nguyễn Thừa đúng theo – Giải tích (tập 1, 2) Chương 2. Tích phân bội – NXB ĐHQG Hà Nội. 7. Nguyễn Thủy Thanh – bài tập Giải tích (tập 2) Chương 3. Tích phân đường – Tích phân phương diện – NXB Giáo dục. Chương 4. Phương trình vi phân 8. James Stewart – Calculus concepts and contexts. Tài liệu xem thêm Biên so n: ThS. Đoàn vương Nguyên Biên 1. Nguyễn vinh hiển – Giáo trình Toán thời thượng A3 tải về Slide bài bác gi ng Toán A3 t i download ng A3 – ĐHCN TP. HCM. 2. Đỗ Công Khanh – Giải tích hàm nhiều trở nên dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com (tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP. HCM. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi §1. Có mang cơ bản • Miền phẳng D của cả biên ∂D được hotline là miền đóng, §2. Đạo hàm riêng – Vi phân miền phẳng D không nói biên ∂D là miền mở. §3. Khai triển Taylor của hàm hai đổi thay số • Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1 §4. Cực trị của hàm hai vươn lên là số mặt đường cong bên trong D nối 2 điểm ngẫu nhiên thuộc D . ………………………………………………………….. Miền liên thông có biên là một trong những đường cong kín được gọi §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN là miền đơn liên (hình a); gồm biên là các đường cong bí mật rời nhau là miền nhiều liên (hình b). 1.1. Những định nghĩa a) Miền phẳng • Trong khía cạnh phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi những đường cong kín đáo được điện thoại tư vấn là miền phẳng. Tập hợp những đường cong bí mật giới hạn D được điện thoại tư vấn là biên của D , ký kết hiệu ∂D hay Γ . Đặc biệt, khía cạnh phẳng Oxy được coi là miền phẳng cùng với biên sinh sống vô cùng. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi b) bên cạnh của một điểm c) Hàm số hai biến hóa số • Trong phương diện phẳng Oxy cho tập D ⊂ ℝ2 . • khoảng cách giữa 2 điểm M1 (x1, y1 ), M 2 (x 2 , y2 ) là: tương xứng f : D → ℝ cho tương xứng mỗi (x , y ) ∈ D ( ) (x1 − x 2 ) + (y1 − y2 ) . 2 2 với một giá trị z = f (x , y ) ∈ ℝ nhất được hotline là d M 1 , M 2 = M 1M 2 = hàm số hai biến đổi số x , y . • Tập D ⊂ ℝ2 được điện thoại tư vấn là miền xác minh (MXĐ) của hàm • hình tròn trụ S (M , ε) mở có tâm ε số f (x , y ), ký hiệu là Df . Miền cực hiếm của hàm f (x , y ) là: M (x , y ), nửa đường kính ε > 0 được • G = z = f (x , y ) ∈ ℝ (x , y ) ∈ Df . M hotline là một cạnh bên của điểm M . Chăm chú Nghĩa là: • vào trường thích hợp xét hàm số f (x , y ) nhưng không nói gì M 0 (x 0 , y 0 ) ∈ S (M , ε) ⇔ (x − x 0 )2 + (y − y0 )2 ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi 1.2. Giới hạn của hàm số hai phát triển thành số • Hàm có tương đối nhiều hơn hai trở thành được định nghĩa tương tự. A) Điểm tụ • trong mpOxy mang lại dãy điểm M n (x n , yn ), n = 1, 2, ... VD 1. • Hàm số f (x , y ) = 3x 2y − cos xy bao gồm Df = ℝ2 . Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là vấn đề tụ của dãy trên ví như mọi ở bên cạnh của M 0 các chứa vô số bộ phận của dãy. • Hàm số z = 4 − x 2 − y 2 tất cả MXĐ là hình trụ đóng • Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là điểm tụ của tập D ⊂ ℝ 2 chổ chính giữa O(0; 0), nửa đường kính R = 2 . Giả dụ mọi lân cận của điểm M 0 các chứa vô vàn điểm • Hàm số z = ln(4 − x 2 − y 2 ) gồm MXĐ là hình tròn mở nằm trong D . B) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội) trọng tâm O(0; 0), nửa đường kính R = 2 . • Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được call là số lượng giới hạn của dãy điểm • Hàm số z = f (x , y ) = ln(2x + y − 3) có MXĐ là nửa M n (x n , yn ), n = 1, 2,... Trường hợp M 0 (x 0 , y 0 ) là vấn đề tụ duy mp mở có biên d : 2x + y − 3 = 0 , không đựng O . độc nhất vô nhị của dãy. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi x →0 n →∞ ký kết hiệu là: lim M n = M 0 tốt M n   M 0 . → xy xy y →0 Giải. 0 ≤ f (x , y ) = ≤ = x   → 0 . N →∞ x2 + y2 y2 • Hàm số f (x, y ) có số lượng giới hạn là L ∈ ℝ ∪ ±∞ khi Mn f (x , y ) = 0 . Lim Vậy dần đến M 0 trường hợp lim f (xn , yn ) = L . Ký kết hiệu: (x ,y )→(0,0) n →∞ lim f (x , y ) = f (x , y ) = lim f (M ) = L. Lim nhấn xét x →x 0 (x ,y )→(x 0 ,y0 ) M →M 0 • nếu đặt x = x 0 + r cos ϕ, y = y 0 + r sin ϕ thì: y →y0 (x , y ) → (x 0 , y0 ) ⇔ r → 0 . 2x 2y − 3x − 1 3 =− . Lim VD 2. Sin(x 2 + y 2 ) xy 2 + 3 2 (x , y )→(1,−1) lim VD 4. Search . X 2 + y2 (x ,y )→(0,0) xy f (x , y ), cùng với f (x , y ) = lim VD 3. Tìm . Giải. Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có: (x ,y )→(0,0) x 2 + y2 Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi c) số lượng giới hạn lặp sin(x 2 + y 2 ) sin r 2 = lim = 1. Lim • số lượng giới hạn theo từng đổi mới khi M n dần cho M 0 của hàm số x 2 + y2 r2 (x ,y )→(0,0) r →0 f (x , y ) được hotline là số lượng giới hạn lặp. 2xy VD 5. đến hàm số f (x , y ) = . Khi x → x 0 trước, y → y 0 sau thì ta viết: x + y2 2 lim lim f (x , y ). Lim f (x , y ) không tồn tại. Chứng minh rằng y →y 0 x →x 0 (x ,y )→(0,0) lúc y → y 0 trước, x → x 0 sau thì ta viết: Giải. Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có: lim lim f (x , y ). X →x 0 y →y 0 r 2 sin 2ϕ sin x 2 − sin y 2 f (x , y ) = lim = sin 2ϕ. Lim VD 6. Xét hàm số f (x , y ) = . Ta có: r2 (x ,y )→(0,0) r →0 x 2 + y2 vì chưng giới hạn phụ thuộc vào vào ϕ đề xuất không duy nhất. − sin y 2 lim lim f (x , y ) = lim = −1 , Vậy lim f (x , y ) ko tồn tại. Y2 y →0 x → 0 y →0 (x ,y )→(0,0)Toán cao c p A3 Đ i h c 2ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi sin x 2 dấn xét lim lim f (x , y ) = lim = 1. • nếu lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ) thì không tồn x2 x →0 y → 0 x →0 y →y0 x →x 0 x →x 0 y →y 0 Vậy lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ). Lim f (x , y ). Trên y →0 x →0 x →0 y →0 (x ,y )→(x 0 ,y0 ) • Sự tồn tại số lượng giới hạn lặp ko kéo theo sự vĩnh cửu giới • Định lý hạn bội và ngược lại. Trong ℝ2 cho hình vuông vắn H có một đỉnh là M 0 (x 0 , y 0 ) 1.3. Hàm số tiếp tục và hàm số f (x , y ) khẳng định trong H . • Hàm số f (x , y ) tiếp tục tại M 0 (x 0 , y0 ) ∈ D ⊂ ℝ2 trường hợp f (x , y ) = L ∈ ℝ và mỗi y ∈ Y lim nếu tồn trên (x ,y )→(x 0 ,y 0 ) f (x , y ) = f (x 0 , y 0 ). Lim vĩnh cửu ϕ(y ) = lim f (x , y ) ∈ ℝ thì: (x ,y )→(x 0 ,y0 ) x →x 0 • Hàm số f (x , y ) thường xuyên trên tập D ⊂ ℝ2 giả dụ nó liên tiếp lim lim f (x , y ) = lim ϕ(y ) = L . Y →y 0 x →x 0 y →y 0 tại đông đảo điểm trực thuộc D . Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi chăm chú §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN Hàm số f (x , y ) tiếp tục trên miền đóng giới nội D thì nó 2.1. Đạo hàm riêng rẽ a) Đạo hàm riêng cấp 1 đạt giá bán trị lớn nhất (max) và nhỏ dại nhất (min) bên trên D . • đến hàm số f (x , y ) xác định trên miền mở D ⊂ ℝ 2 sin x 2 − sin y 2 VD 7. Xét sự liên tục của f (x , y ) = đựng điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Cố định y0 , nếu như hàm số f (x , y 0 ) . X 2 + y2 gồm đạo hàm tại x 0 thì ta hotline đạo hàm đó là đạo hàm riêng biệt Giải. Cùng với (x , y ) ≠ (0, 0) thì hàm số f (x , y ) xác định nên theo biến đổi x của hàm số f (x , y ) trên (x 0 , y 0 ). Liên tục. ∂f cam kết hiệu: fx (x 0 , y 0 ) xuất xắc fx/ (x 0 , y 0 ) hay (x , y ). Trên (0, 0) thì lim f (x , y ) không tồn trên (VD 6). ∂x 0 0 (x ,y )→(0,0) f (x , y0 ) − f (x 0 , y0 ) Vậy hàm số f (x , y ) liên tiếp trên ℝ2 (0, 0). / Vậy fx (x 0 , y0 ) = lim . X − x0 x →x 0 …………………………………………………………… Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi x2 + 1 • Tương tự, đạo hàm riêng rẽ theo biến chuyển y trên (x 0 , y 0 ) là: VD 2. Tính các đạo hàm riêng biệt của z = ln . X 2 + y2 + 1 f (x 0 , y ) − f (x 0 , y0 ) fy/ (x 0 , y0 ) = lim . Y − y0 x y →y 0 VD 3. Tính những đạo hàm riêng rẽ của z = cos trên (π; 4). Y chăm chú ∂f df 2 VD 4. Tính các đạo hàm riêng rẽ của f (x , y, z ) = e x y sin z . • ví như f (x ) là hàm số một biến x thì fx/ = = . ∂x dx • Hàm số nhiều hơn thế hai biến tất cả định nghĩa tương tự. B) Đạo hàm riêng cấp cao • Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số fx/ (x , y ), fy/ (x , y ) VD 1. Tính những đạo hàm riêng biệt của hàm số: f (x , y ) = x 4 − 3x 3y 2 + 2y 3 − 3xy trên (−1; 2). được call là những đạo hàm riêng cấp ba của f (x , y ).Toán cao c p A3 Đ i h c 3ĐH Công nghi p thành phố hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi ký kết hiệu: VD 5. Tính các đạo hàm riêng trung học phổ thông của hàm số:  ∂  ∂f  ∂ 2 f f (x , y ) = x 3ey + x 2y 3 − y 4 tại (−1; 1). F // = fxx = ( fx ) =  = ,  ∂x  ∂ x 2 ∂x   2  x x VD 6. Mang lại hàm số f (x , y ) = x 5 + y 4 − x 4y 5 . ∂  ∂f  ∂ 2 f  ( )y  = // = fyy = fy =  f , giá trị của đạo hàm riêng cung cấp năm f (5)2 (1; −1) là:  ∂y  ∂ y  ∂y 2 y2 3 xy ∂  ∂f  A. F (5)2 (1; −1) = 480 ; B. F (5)2 (1; −1) = −480 ; 2  = ∂ f , fxy = fxy = ( fx ) // =  3 3  xy xy  ∂y  ∂ x  ∂y ∂x y C. F (5)2 (1; −1) = 120 ; D. F (5)2 (1; −1) = −120 . 3 3 ∂  ∂f   xy xy 2  = ∂ f . ( )x // fyx = fyx = fy =  ∂x  ∂ y  ∂x ∂y • Định lý Schwarz  ví như hàm số f (x , y ) có những đạo hàm riêng biệt fxy/ , fyx liên / // • Hàm số nhiều hơn nữa 2 trở nên và đạo hàm riêng biệt cấp cao hơn nữa tục trong miền mở D ⊂ ℝ 2 thì fxy/ = fyx . / // 2 gồm định nghĩa tương tự. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi +) 2x −y b) Định nghĩa Đạo hàm riêng z (m−2n n 2 (m ≥ 2) của z = e VD 7. Là: xm y x • nếu trong ở bên cạnh S (M 0 , ε) với số gia ∆x , ∆y nhưng mà số n m +n 2x −y B. (−1)m 2m +n e 2x −y ; A. (−1) 2 e ; gia ∆f tương ứng hoàn toàn có thể viết được dưới dạng: C. (−1)m 2m e 2x −y ; D. (−1)n 2m e 2x −y . ∆f = A.∆x + B.∆y + O (r ), r = (∆x )2 + (∆y )2 , 2.2. Vi phân trong đó A, B là gần như số chỉ dựa vào vào điểm 2.2.1. Vi phân cấp cho 1 M 0 (x 0 , y 0 ) và hàm f (x , y ), không phụ thuộc ∆x , ∆y a) Số gia của hàm số thì đại lượng A.∆x + B.∆y được hotline là vi phân của • cho hàm số f (x , y ) xác định trong kề bên S (M 0 , ε) hàm số f (x , y ) tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Của điểm M 0 (x 0 , y0 ). Mang đến x một số gia ∆x với y một • khi đó, f (x , y ) được hotline là khả vi trên điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Số gia ∆y , khi ấy hàm f (x , y ) có tương ứng số gia: ký hiệu là: df (x 0 , y 0 ) = A.∆x + B.∆y. ∆f = f (x 0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f (x 0 , y0 ). Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi c) Định lý dấn xét • Xét hồ hết điểm M (x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) di chuyển • giả dụ hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng rẽ trong cạnh bên trên đường đi qua M 0 tuy nhiên song O x . Khi đó ∆ y = 0 : nào kia của (x 0 , y 0 ) và các đạo hàm riêng biệt này tiếp tục ∆ f = f (x 0 + ∆ x , y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) = A.∆ x + O (∆ x ) trên (x 0 , y 0 ) thì f (x , y ) khả vi tại (x 0 , y 0 ). ∆f = A ⇒ A = fx/ (x 0 , y 0 ) . ⇒ lim VD 8. Mang lại hàm f (x , y ) = x 2e x −y − y 5 . Tính df (1; −1). ∆x → 0 ∆ x ∆f 2 −y = B ⇒ B = fy/ (x 0 , y 0 ) . Sin(xy 2 ). VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm z = e x Tương tự, lim ∆y → 0 ∆ y Suy ra df (x , y ) = fx/ (x , y ).∆ x + fy/ (x , y ).∆ y . 2.2.2. VI PHÂN CẤP CAO a) Vi phân cung cấp 2 • Xét f (x , y ) = x ⇒ df (x , y ) = ∆x ⇒ dx = ∆x . • giả sử f (x , y ) là hàm khả vi với x , y là các biến độc Tương tự, dy = ∆y . Vậy: lập. Những số gia dx = ∆x , dy = ∆y tùy ý hòa bình với df (x , y ) = fx/ (x , y )dx + fy/ (x , y )dy. X , y đề nghị được coi là hằng số đối với x , y .Toán cao c phường A3 Đ i h c 4ĐH Công nghi p tp hcm Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi • Vi phân của df (x , y ) được điện thoại tư vấn là vi phân cung cấp 2 của b) Vi phân cấp cho n f (x , y ). Cam kết hiệu với công thức: n ( ) ∑C d n f = d d n −1 f = dx k dy n −k . K (n ) f d f = d (df ) = fx′′dx + 2 fxydxdy + fy′′dy . N x k y n −k ′′ 2 2 2 k =0 2 2 (n ) (n ) f (0 )n = f (nn ) , n =f f trong số ấy , chú ý x ny 0 xn xy y • trường hợp x , y là những biến không tự do (biến trung gian) 0 0n dx dy = dx , dx dy = dy n . N n x = x (ϕ, ψ ), y = y(ϕ, ψ ) thì bí quyết trên không thể đúng nữa. Dưới đây ta chỉ xét trường đúng theo x , y độc lập. VD 12. Tính vi phân cung cấp 3 của hàm số f (x , y ) = x 3y 2 . VD 10. Mang lại hàm số f (x , y ) = x 2y 3 + xy 2 − 3x 3y 5 . Tính vi phân cấp hai df 2 (2; −1). VD 13. Tính vi phân d 3z của hàm số z = e 2x cos 3y . VD 11. Tính vi phân cung cấp 2 của hàm f (x , y ) = ln(xy 2 ). Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi 2.3. Đạo hàm của hàm số phù hợp Tính trực tiếp như sau: a) Hàm hợp với một biến tự do ω(t ) = (3t 2 − t )2 sin t • cho f (x , y ) là hàm khả vi so với x , y và x , y là hồ hết ⇒ ω ′(t ) = 2(3t 2 − t )(6t − 1)sin t + (3t 2 − t )2 cos t hàm khả vi đối với biến độc lập t . Lúc đó, hàm đúng theo của = 2xy(6t − 1) + x 2 cos t . Biến chuyển t là ω(t ) = f (x (t ), y(t )) khả vi. Ta có: df dx dy VD 15. Mang đến f (x, y ) = ln(x 2 + y 2 ), y = sin2 x . Tính . ω′(t ) = fx/+ fy/ . Dx dt dt Giải VD 14. Tính ω ′(t ) cùng với hàm số f (x , y ) = x 2y và / / = ln(x 2 + y 2 ) + ln(x 2 + y 2 ) (sin 2 x )/ df x = 3t 2 − t, y = sin t .  x  y x dx dx dy Giải. ω ′(t ) = fx/ . + fy/ . 2x + 2y sin 2x 2x 2y sin 2x = + = dt dt . 2 2 2 2 x 2 + y2 x +y x +y = 2xy(3t 2 − t )t + x 2 (sin t )t = 2xy(6t − 1) + x 2 cos t . / / Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi b) Hàm phù hợp với hai biến tự do Giả sử những hàm trên mọi khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được: • mang đến f (x , y ) là hàm khả vi đối với x , y với x , y là phần đông Fx/ + Fz/ .z x = 0, Fy/ + Fz/ .zy = 0 . / / hàm khả vi so với hai biến chủ quyền ϕ, ψ . Lúc đó, hàm Fy/ Fx/ (F ) thích hợp của 2 đổi thay ϕ, ψ là ω(ϕ, ψ) = f (x (ϕ, ψ), y(ϕ, ψ)) / / / Vậy z x = − , zy = − ≠0 . Z Fz/ Fz/ khả vi. Ta có: ω/ = fx/ .x ϕ + fy/ .y ϕ , ω/ = fx/ .x ψ + fy/ .y ψ . / / / / ϕ ψ VD 16. đến hàm ẩn z (x , y ) thỏa phương trình: 2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) / / xyz = cos(x + y + z ). Tính z x , zy . • Hàm z(x , y ) xác định trên Dz ⊂ ℝ2 thỏa phương trình VD 17. Mang lại hàm ẩn z(x , y ) thỏa phương trình khía cạnh cầu: F (x , y, z (x , y )) = 0, ∀(x , y ) ∈ D ⊂ Dz (*) được call là / x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 . Tính zy . Hàm số ẩn nhị biến khẳng định bởi (*). ……………………………………………………Toán cao c phường A3 Đ i h c 5ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi triển khai Maclaurin §3. KHAI TRIỂN TAYLOR HÀM nhị BIẾN 3.1. Cách làm Taylor Tại lân cận O(0; 0), khai triển Maclaurin f (x , y ) là: cho hàm số f (x , y ) gồm đạo hàm riêng rẽ đến cung cấp n + 1 d n f (0; 0) df (0; 0) f (x , y ) = f (0; 0) + + ... + + O(ρ n ). Vào miền mở D đựng điểm M 0 (x 0 ; y 0 ). 1! n! giả sử N (x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) ∈ D với MN ⊂ D . Trong đó, dx = x , dy = y , ρ = x 2 + y 2 . Đặt dx = ∆x = x − x 0 , dy = ∆y = y − y 0 . Những khai triển Maclaurin hàm 1 biến yêu cầu nhớ khai triển Taylor hàm f (x , y ) ở sát bên điểm M 0 là: 1 = 1 + x + x 2 + ... + x n + O(x n ). D n f (M 0 ) 1) df (M 0 ) 1−x f (x , y ) = f (M 0 ) + + ... + + O(ρ n ). 1! n! x2 xn x 2) e x = 1 + + + O(x n ) . + ... + vào đó, ρ = (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 . 1! 2! n! Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi • df (x , y ) = fx′(x , y )dx + fy′(x , y )dy 2 3 4 xx x x + ... + O(x n ). 3) ln(1 + x ) = − + − 1 2 3 4 = y x ln ydx + xy x −1dy ⇒ df (1;1) = dy = y − 1; x2 x4 x6 + ... + O(x n ). 4) cos x = 1 − + − 2! 4 ! 6! • d 2 f (x , y ) = fx′′dx 2 + 2 fxydxdy + fy′′dy 2 ′′ x x3 x5 x7 2 2 5) sin x = − + − + ... + O(x n ). 1! 3! 5! 7 ! = y x ln2 ydx 2 + 2y x −1(x ln y +1)dxdy + x (x − 1)y x −2dy 2 3.2. Những ví dụ ⇒ d 2 f (1;1) = 2dxdy = 2(x − 1)(y − 1). VD 1. Triển khai Taylor ở cạnh bên điểm (1; 1) của hàm số f (x , y ) = y x đến số hạng bậc hai. Vậy y x = 1 + (y − 1) + (x − 1)(y − 1) + O(ρ 2 ), Giải. Ta có: ρ = (x − 1)2 + (y − 1)2 . • f (1;1) = 1; Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi §4. CỰC TRỊ CỦA HÀM hai BIẾN SỐ VD 2. Khai triển Maclaurin của hàm số 4.1. Định nghĩa (cực trị địa phương) f (x , y ) = cos(x 2 + y 2 ) đến số hạng bậc 4. • Hàm số z = f (x , y ) đạt rất trị địa phương (gọi tắt là cực trị) trên M 0 (x 0 , y 0 ) nếu với mọi điểm M (x , y ) khá 2 VD 3. Khai triển Maclaurin của hàm số z = e x sin y đến gần dẫu vậy khác M 0 thì hiệu ∆ f = f (x , y ) − f (x 0 , y 0 ) số hạng bậc 5. Có dấu không đổi. • trường hợp ∆ f > 0 thì f ( x 0 , y 0 ) được hotline là quý giá cực đái 2 VD 4. Triển khai Maclaurin của hàm số z = (1 + y )x mang đến và M 0 là điểm cực tiểu của z = f ( x , y ) . Số hạng bậc 6. • nếu ∆ f ĐH Công nghi p tp hcm Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi lúc đó: 4.2. ĐỊNH LÝ AC − B 2 > 0  a) Điều kiện đề nghị • giả dụ  ⇒ f (x , y ) đạt cực tiểu trên M 0 .  • ví như hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị trên M 0 (x 0 , y0 ) và  A>0   tại đó hàm số tất cả đạo hàm riêng biệt thì: AC − B 2 > 0  • giả dụ  fx′(x 0, y 0 ) = fy′(x 0, y 0 ) = 0. ⇒ f (x , y ) đạt cực lớn tại M 0 .   A 0, y > 0). X y • Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f (x , y ) ta dùng xác định đúng là: A. Z đạt rất tiểu tại M (2; 5) và cực hiếm cực tè z = 39 . Cách thức khử hoặc nhân tử Lagrange. B. Z đạt cực tiểu trên M (5; 2) và giá trị cực tè z = 30 . A) phương pháp khử C. Z đạt cực lớn tại M (2; 5) và giá trị cực to z = 39 . • từ bỏ phương trình ϕ(x , y ) = 0 ta rút x hoặc y núm vào D. Z đạt cực đại tại M (5; 2) với giá trị cực lớn z = 30 . F (x , y ), kế tiếp tìm cực trị của hàm một biến.Toán cao c p A3 Đ i h c 7ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. Nhi Ch 1. Nhi VD 7. Kiếm tìm điểm cực trị của hàm z = x 2y thỏa điều kiện: • bước 3. Tính vi phân cung cấp 2 tại M 0 (x 0 , y 0 ) ứng cùng với λ 0 : x − y + 3 = 0. ′′ ′′ ′′ d 2L(M 0 ) = Lx 2dx 2 + 2Lxydxdy + Ly 2dy 2 . B) cách thức nhân tử Lagrange những vi phân dx , dy nhờ vào vào điều kiện ràng buộc: fy/ fx/ d ϕ(x , y ) = ϕ ′ (x , y )dx + ϕ ′ (x , y )dy = 0 (1)  tại điểm cực trị (x , y ) của f , điện thoại tư vấn λ = − =−  là 00 x00 y00  ϕ/ / ϕy  (dx )2 + (dy )2 > 0 (2). X    nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực hiện các bước: • bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có: • cách 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange): trường hợp d 2L(M 0 ) > 0 thì f (x , y ) đạt cực tiểu trên M 0 . L(x , y, λ ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ). Giả dụ d 2L(M 0 ) 0 . Thỏa điều kiện ϕ(x , y ) = 0 (chỉ phải tìm điểm dừng). Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 2. Tích phân b i Ch 1. Nhi Ch 2. §1. Tích phân bội nhị (tích phân kép) • bước 3. Cực hiếm max f (x , y ), min f (x , y ) khớp ứng là §2. Tích phân bội ba D D §3. Ứng dụng của tích phân bội giá trị mập nhất, nhỏ dại nhất trong toàn bộ các quý hiếm sau: ………………………….. F (M 1 ), ..., f (M m ), f (N 1 ),..., f (N n ), f (P1 ),..., f (Pp ). §1. TÍCH PHÂN BỘI nhì VD 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ dại nhất của hàm số 1.1. Bài bác toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) 3 • Xét hàm số z = f (x , y ) f (x , y ) = x 2 + y 2 trong miền D : x 2 − x + y 2 ≤ . 4 liên tục, ko âm với VD 13. Mang lại hàm số f (x , y ) = x 2 + y 2 − xy + x + y . Một mặt trụ có những Tìm giá chỉ trị lớn nhất và nhỏ dại nhất của f (x , y ) vào miền con đường sinh tuy nhiên song D : x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3 . Cùng với Oz , đáy là miền VD 14. Kiếm tìm max, min của z = sin x + sin y + sin(x +y ) phẳng đóng góp D trong π π mpOxy . Vào miền D : 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ . 2 2 ………………………………………………………Toán cao c p. A3 Đ i h c 8ĐH Công nghi p tp hcm Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. 1.2. Tích phân bội nhì • Để tính thể tích khối trụ, ta phân tách miền D thành n phần ko dẫm lên nhau ∆Si , i = 1; n . Diện tích s mỗi phần a) Định nghĩa • đến hàm số f (x , y ) khẳng định trên miền D đóng cùng bị cũng ký hiệu là ∆Si . Lúc đó, khối trụ cong được phân thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi phần ∆Si ta rước điểm ngăn trong khía cạnh phẳng Oxy . Chia miền D một biện pháp tùy ý thành n phần không dẫm M i (xi ; yi ) tùy ý cùng thể tích V của khối trụ là: lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si , i = 1; n . N V ≈ ∑ f (xi ; yi )∆Si . Mang n điểm tùy ý M i (x i ; yi ) ∈ ∆Si , i = 1; n . Khi đó, i =1 n • gọi di = max d (A, B ) A, B ∈ ∆Si là đường kính của I n = ∑ f (x i ; yi )∆Si được hotline là tổng tích phân của i =1 n ∑ f (xi ; yi )∆Si . ∆Si . Ta có: V = f (x , y ) trên D (ứng cùng với phân hoạch ∆Si và những điểm lim max d →0 i =1 i chọn M i ). Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. N ∫∫ f (x, y )dxdy , ta nói hàm số ∑ f (xi , yi )∆Si • ví như tồn trên tích phân • Nếu giới hạn I = lim mãi mãi hữu max di →0 i =1 D hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si và biện pháp chọn f (x , y ) khả tích bên trên miền D ; f (x , y ) là hàm dưới vết tích phân; x với y là các biến tích phân. điểm M i thì số thực I được call là tích phân bội hai của hàm số f (x , y ) bên trên miền D . Nhấn xét ∫∫ f (x , y )dS . Cam kết hiệu là: I = S (D ) = ∫∫ dxdy (diện tích của miền D ). D D nếu như f (x , y ) > 0 , thường xuyên trên D thì thể tích hình trụ có • chia miền D bởi các đường thẳng tuy nhiên song cùng với Ox , Oy ta được ∆Si = ∆x i .∆yi giỏi dS = dxdy . Các đường sinh song song cùng với Oz , nhị đáy số lượng giới hạn bởi các mặt z = 0 , z = f (x , y ) là V = ∫∫ f (x , y )dxdy . ∫∫ f (x, y)dS = ∫∫ f (x , y )dxdy. Vậy I = D D D Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. B) Định lý • đặc thù 3 Hàm f (x , y ) thường xuyên trong miền D đóng cùng bị chặn thì Nếu chia miền D thành D1, D2 vì đường cong tất cả diện khả tích vào D . Tích bằng 0 thì: ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy . 1.3. đặc thù của tích phân bội hai trả thiết rằng các tích phân tiếp sau đây đều tồn tại. D D1 D2 ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv . • tính chất 1. 1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH D D 1.4.1. Đưa về tích phân lặp • tính chất 2 a) Định lý (Fubini) ∫∫ < f (x, y ) ± g(x, y )>dxdy = ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; mang sử tích phân I = ∫∫ f (x , y )dxdy tồn tại, trong số đó D D D D ∫∫ kf (x , y )dxdy = k ∫∫ f (x , y )dxdy, k ∈ ℝ . D = (x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x ), D DToán cao c phường A3 Đ i h c 9ĐH Công nghi p thành phố hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. Y 2 (x ) để ý ∫ cùng với mỗi x ∈ thế định, f (x , y )dy tồn tại. 1) trường hợp miền D là hình chữ nhật, D = (x , y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d = × thì: y1 (x ) y2 (x ) b b d d b ∫ dx ∫ I= f (x , y )dy. ∫∫ ∫ dx ∫ f (x, y )dy=∫ dy ∫ f (x , y )dx . Lúc đó: f (x , y )dxdy = y1 (x ) a D a c c a 2) trường hợp D = (x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x ) Tương tự, nếu miền D là: cùng f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì: D = (x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d y2 (x ) b x 2 (y ) d ∫∫ ∫ ∫ f (x , y )dxdy = u(x )dx v(y )dy. ∫ dy ∫ I= f (x , y )dx . Thì y1(x ) D a x1 (y ) c Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. 3) trường hợp D = (x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d cùng f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì: x 2 (y ) d ∫∫ ∫ ∫ f (x , y )dxdy = v(y )dy u(x )dx . X1 (y ) D c 4) nếu như D là miền tinh vi thì ta phân chia D ra thành mọi miền đối chọi giản. ∫∫ 6xy dxdy . ∫∫ f (x, y )dxdy . Khẳng định cận tích phân 2 VD 2. Tính tích phân I = VD 1. Mang đến I = D D trong đó, D = <0; 2>× <−1; 1>. Lặp với miền D số lượng giới hạn bởi y = 0, y = 2x , x = a > 0 . Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. ∫∫ ∫∫ ydxdy , trong các số ấy miền D VD 3. Tính tích phân I = (2x + y )dxdy . VD 5. Tính tích phân I = D D vào đó, D = y ≤ x ≤ 1 − y, − 2 ≤ y ≤ 0. Giới hạn bởi các đường y = x − 4, y 2 = 2x . VD 4. Tính tích phân I = ∫∫ ydxdy , D trong những số ấy miền D số lượng giới hạn bởi những đường y = x + 2, y = x 2 .Toán cao c p. A3 Đ i h c 10ĐH Công nghi p tp hcm Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. VD 6. Đổi máy tự lấy tích phân trong tích phân sau: b) Đổi máy tự lấy tích phân 2y 3 ∫ dy ∫ f (x , y )dx . I= 1 0 x 2 (y ) d y 2 (x ) b ∫ ∫ I= ∫ dx ∫ f (x , y )dx dy I= f (x , y )dy x1 (y ) c y1 (x ) a Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. VD 7. Đổi đồ vật tự đem tích phân trong tích phân sau: VD 8. Đổi sản phẩm công nghệ tự rước tích phân vào tích phân sau: 2−x 2 1 3 1 x 1 ∫ dx ∫ f (x , y )dy + ∫ dx ∫ f (x , y )dy . ∫ dx ∫ I= I= f (x , y )dy . X2 x2 0 1 0 x 9 9 Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. ′ ′ 1.4.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ∂(x , y ) x u xv 1 1 Chú ý. J = = = = . A) cách làm đổi biến tổng thể ′ ′ ′ ′ ∂(u, v ) yu ∂(u, v ) yv ux uy giả sử x = x (u, v ), y = y(u, v ) là nhị hàm số có các đạo ∂(x , y ) ′ ′ vx vy hàm riêng tiếp tục trên miền đóng bị ngăn Duv trong ∫∫ (x 2 − y 2 )dxdy , với miền D là hình VD 9. Tính I = mpOuv . Call Dxy là miền khẳng định bởi: D Dxy = (x , y ) : x = x (u, v ), y = y(u, v ), (u, v ) ∈ Duv . Chữ nhật giới hạn bởi những đường thẳng: x + y = 1, x + y = 3, x − y = 2, x − y = 5 . Trường hợp hàm f (x , y ) khả tích bên trên Dxy với Jacobien ′ ′ ∂(x , y ) x u xv J= = ≠ 0 trong Duv ′ ′ ∂(u, v ) yu yv ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x (u, v), y(u, v )). J dudv. Thì Dxy DuvToán cao c p. A3 Đ i h c 11ĐH Công nghi p thành phố hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. B) Đổi thay đổi trong tọa độ cực VD 10. Tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi 4 parapol: y = x 2 , 2y = x 2 , x = y 2 , 3x = y 2 . Trong mpOxy , xét miền D . Vẽ 2 tia OA, OB tiếp xúc với miền D và (Ox,OA) = α, (Ox,OB ) = β . Khi đó: OM ≤ OM ≤ OM   M ∈D ⇔ 1 2 ( )  α ≤ Ox , OM ≤ β.    Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. x = r cos ϕ để ý  ( ) Đặt  cùng với r = OM , ϕ = Ox , OM .  1) Đổi vươn lên là trong tọa độ cực hay được dùng khi biên của D y = r sin ϕ   là đường tròn hoặc elip. Lúc đó, miền D trở thành: Dr ϕ = (r , ϕ) : r1(ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β. 2) Để tìm kiếm r1(ϕ), r2 (ϕ) ta núm x = r cos ϕ, y = r sin ϕ vào phương trình của biên D . ∂(x , y ) x r′ ′ cos ϕ −r sin ϕ xϕ Ta có J = = = = r. ′ ′ sin ϕ r cos ϕ 3) Nếu cực O bên trong D với mỗi tia trường đoản cú O chỉ giảm biên ∂(r, ϕ) yr yϕ D ở một điểm thì: Vậy: r (ϕ ) 2π r2 ( ϕ ) ∫ ∫ β I= dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr . ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ d ϕ ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ).rdr . 0 0 α r1 (ϕ ) Dxy Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. ∫∫ f (x , y )dxdy VD 11. Hãy màn biểu diễn tích phân I = 4) Nếu cực O nằm tại biên của D thì: r (ϕ) β D ∫ dϕ ∫ I= f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr . Vào tọa độ cực. Biết miền D nằm ngoài đường tròn (C 1 ) : x 2 + y 2 = 2x và bên trong (C 2 ) : x 2 + y 2 = 4x . α 0 x2 y2 + = 1 thì ta đặt: 5) giả dụ biên của D là elip a 2 b2 x = ra cos ϕ, y = rb sin ϕ . Khi đó, D vươn lên là hình tròn: Dr ϕ = (r , ϕ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1 . Ta bao gồm Jacobien J = abr và: 2π 1 I = ab ∫ d ϕ ∫ f (ra cos ϕ, rb sin ϕ)rdr . 0 0Toán cao c phường A3 Đ i h c 12ĐH Công nghi p thành phố hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. VD 14. Tính diện tích miền D (cắt tia Oy ) số lượng giới hạn bởi: 2 2 −(x +y ) ∫∫ e VD 12. Tính tích phân I = dxdy , trong những số đó y = −x , y = 0 cùng x 2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 − 3x . D 2 2 2 D là hình tròn trụ x + y ≤ R .  x 2  y 2 4 −   −   dxdy ,   ∫∫ VD 13. Tính tích phân I =   a   b    D D số lượng giới hạn bởi 2 elip nằm trong góc phần bốn thứ nhất:  x 2  y 2  x 2  y 2 (E1 ) :   +   = 1, (E 2 ) :   +   = 1 .     a  b           2a   2b  Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2.  (n − 1)!!  công thức Walliss  2. N leû ,  π  n !!   (n − 1)!! 2) ∫ sin xdx =   n π π  , n leû  (n − 1)!!  π. N chaün.  n !! 2 2 ,  0   ∫ sin ∫ n n xdx = cos xdx =  n !! 1)    π (n − 1)!! . , n chaün.  n leû   0 0 0, 2  π n !!     (n − 1)!! ∫ cos xdx = π. N n chaün.  ,   n !! trong đó, n ! ! phát âm là n Walliss, có mang như sau: 0   0 !! = 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4 !! = 2.4;  0, n leû   2π 2π   (n − 1)!! ∫ sin ∫ n n xdx = cos xdx =  5 !! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7 !! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8; ... 3) , n chaün. 2π.   n !! 0 0   Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. π π §2. TÍCH PHÂN BỘI cha 2 2 π 1!! π 4 !! 8 2.1. Bài xích toán khởi đầu (khối lượng đồ vật thể) ∫ sin ∫ cos 2 5 xdx = =, xdx = =, . VD. 2 2 !! 4 5!! 15 • giả sử ta bắt buộc tính cân nặng của vật thể V không đồng 0 0 chất, biết tỷ lệ (khối lượng riêng) trên điểm P(x , y, z ) là π π ρ = ρ(P ) = ρ(x , y, z ). 5!! 15π ∫ ∫ sin cos5 xdx = 0 , 6 xdx = π. = , • Ta phân chia V thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau, thể 6!! 48 0 0 tích từng phần là ∆Vi , i = 1, n . Trong những ∆Vi ta đem 2π 2π điểm Pi (xi , yi , zi ) và ký hiệu đường kính của ∆Vi là di . 5!! 15π ∫ ∫ cos sin7 xdx = 0 , 6 xdx = 2π. = . N khi đó, cân nặng của V xấp xỉ: m ≈ ∑ ρ(Pi ).∆Vi . 6!! 24 0 0 i =1 n ∑ ρ(P ).∆V • Vậy m = lim ……………………………………………………………………… (nếu giới hạn hữu hạn). I i max di → 0 i =1Toán cao c p. A3 Đ i h c 13ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. 2.2. Định nghĩa tích phân bội ba • trường hợp tồn tại tích phân, ta nói f (x , y, z ) khả tích; f (x , y, z ) • mang lại hàm số f (x , y, z ) xác định trong miền đo được V là hàm dưới dấu tích phân; x , y, z là các biến tích phân. Trong không gian Oxyz . Phân tách miền V như vấn đề • Hàm số f (x , y, z ) liên tiếp trong miền V bị ngăn và đóng n mở màn và lập tổng tích phân I n := ∑ f (x i , yi , z i )∆Vi . Thì khả tích trong V . I =1 n nhấn xét ∑ f (xi , yi , zi )∆Vi • trường hợp I = lim sống thọ hữu hạn, ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz là khối ví như f ≥ 0 trên V thì I = max di → 0 i =1 không nhờ vào vào phương pháp chia miền V và giải pháp chọn V lượng thứ thể V , với trọng lượng riêng vật chất chiếm điểm Pi thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của thể tích V là f (x , y, z ). Hàm số f (x , y, z ) trên V . Đặc biệt, nếu như f (x , y, z ) ≡ 1 thì I là thể tích của V . ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz. I= cam kết hiệu: Tích phân bội bố có các tính chất như tích phân kép. V Chương 2. M t s m t b c nhị Chương 2. M t s m t b c hai Ch 2. Ch 2. M TC U M T TR TRÒN TR TRÒN (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2 (x − a )2 + (y − b)2 = R2 Chương 2. M t s m t b c hai Chương 2. M t s m t b c nhị Ch 2. Ch 2. M T TR ELIP M T TR PARABOL TR ELIP TR PARABOL x 2 y2 y = ax 2 + =1 a 2 b2Toán cao c p. A3 Đ i h c 14ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. M t s m t b c nhị Chương 2. M t s m t b c nhị Ch 2. Ch 2. M T N ÓN M T PARABOLIC PARABOLIC z = x 2 + y2 z = x 2 + y2 Chương 2. M t s m t b c hai Chương 2. M t s m t b c hai Ch 2. Ch 2. M T PARABOLIC M T ELIPSOID PARABOLIC ELIPSOID x 2 y2 z 2 ++ =1 a 2 b2 c2 z = a − x 2 − y2 Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. 2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH Đặc biệt • giả dụ Dxy = (x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x ) thì: 2.3.1. Đưa về tích phân lặp a) Chiếu miền V lên mpOxy y2 (x ) z 2 (x ,y ) b trả sử miền V có giới hạn trên vị mặt z = z 2 (x , y ), ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz = ∫ dx ∫ ∫ f (x , y, z )dz . Dy số lượng giới hạn dưới vì z = z1 (x, y ), giới hạn xung quanh bởi vì y1 (x ) z1 (x ,y ) V a phương diện trụ gồm đường sinh tuy vậy song với trục Oz . • giả dụ Dxy = (x , y ) : x 1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d thì: hotline Dxy là hình chiếu của V bên trên mpOxy . Khi đó: x 2 (y ) z 2 (x ,y ) d ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫ dy ∫ ∫ z 2 (x ,y ) f (x , y, z )dz . Dx ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫ dxdy ∫ f (x , y, z )dz . X1 (y ) z1 (x ,y ) V c z1 (x ,y ) V DxyToán cao c phường A3 Đ i h c 15ĐH Công nghi p tp.hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. C) Chiếu miền V lên mpOyz b) Chiếu miền V lên mpOxz mang sử miền V có số lượng giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox ) vày hai mặt x = x 2 (y, z ) với x = x1 (y, z ), giới hạn xung trả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy ) vày hai phương diện y = y2 (x , z ) cùng y = y1(x , z ), số lượng giới hạn xung quanh vị mặt trụ có đường sinh tuy vậy song với trục Ox . Quanh bởi mặt trụ có đường sinh tuy nhiên song với trục Oy . Hotline Dyz là hình chiếu của V trên mpOyz . Lúc đó: call Dxz là hình chiếu của V trên mpOxz . X 2 (y ,z ) ∫∫∫ ∫∫ ∫ f (x , y, z )dxdydz = khi đó: f (x , y, z )dx . Dydz x1 (y ,z ) y2 (x ,z ) V Dyz ∫∫∫ ∫∫ ∫ f (x , y, z )dxdydz = f (x , y, z )dy. Dxdz Đặc biệt. Giả dụ miền V = ×× y1 (x ,z ) V Dxz f b d ∫∫∫ ∫ dx ∫ dy ∫ f (x , y, z )dz . F (x , y, z )dxdydz = thì V a c e Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. ∫∫∫ ydxdydz cùng với miền V VD 3. Tính tích phân I = ∫∫∫ 8xyzdxdydz cùng với miền V VD 1. Tính tích phân I = V V giới hạn bởi x + y + z = 1 cùng 3 mặt phẳng tọa độ. Là hình hộp chữ nhật V = <1; 2> × <−1; 3> × <0; 2>. A. I = 12; B. I = 24 ; C. I = 48 ; D. I = 96 . VD 2. Tính tích phân lặp 1 1 2 ∫ dx ∫ dy ∫ (1 + 2z )dz I= −1 x2 0 cùng dựng miền rước tích phân V . Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. 2.3.2. CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT VD 4. Tính thể tích thứ thể V xác minh bởi: mang sử x = x (u, v, w ), y = y(u, v, w ), z = z(u, v, w ) bao gồm −x + y + z + x − y + z + x + y − z ≤ 2 . đạo hàm riêng thường xuyên trong miền Vuvw đóng bị ngăn trong không gian Ouvw . ′ ′ ′ xu xv xw VD 5. Tính thể tích của khối elipsoid ∂(x , y, z ) ′ ′ ′ nếu như Jacobien J = = yu yv yw ≠ 0 thì x 2 y2 z 2 ∂(u, v, w ) ≤ R2 + + V: ′ z v zw ′ ′ zu 2 2 2 a b c (a, b, c, R > 0). ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz V ∫∫∫ f (x (u, v, w ), y(u, v, w ), z(u, v, w )). J .dudvdw. = VuvwToán cao c p. A3 Đ i h c 16ĐH Công nghi p thành phố hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. Lúc đó ta có: 2.3.3. Đổi thay đổi trong tọa độ trụ ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz x = r cos ϕ    V Đặt y = r sin ϕ , r ≥ 0 , ∫∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ, z ).r .drd ϕdz.  =  z = z  Vr ϕz   ϕ ∈ <0; 2π> hoặc ϕ ∈ <−π; π>. VD 6. Tính tích phân: ∫∫∫ z x 2 + y 2dxdydz , I= x r′ ′ ′ xϕ xz ′ ′ ′ Jacobien J = yr yz = r . V yϕ với V là khối hình tròn z r′ ′ ′ zϕ zz số lượng giới hạn bởi: ϕ x 2 + y 2 = 2y , z = 0 và z = 1 . Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. 2.3.3. Đổi biến hóa trong tọa độ cầu ∫∫∫ (x 2 2 2 VD 7. Tính I = + y + z )dxdydz với V là x = r sin θ cos ϕ,  θ V   2 2 2 khối hình nón giới hạn bởi x + y = z với z = 1 . Đặt y = r sin θ sin ϕ,   z = r cos θ,    r ≥ 0, ϕ ∈ <0; 2π>, θ ∈ <0; π> ∂(x , y, z ) Jacobien J = ∂(r , ϕ, θ) ′ ′ ′ xr xϕ xθ ′ ′ ′ y θ = r 2 sin θ. = yr ϕ yϕ ′ ′ ′ zr zϕ zθ Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. Lúc đó ta có: ∫∫∫ (x 2 + y 2 )dxdydz cùng với V VD 9. Tính tích phân I = ∫∫∫ ∫∫∫ f .r 2 sin θ.drd ϕd θ. F (x , y, z )dxdydz = V V Vr ϕθ là miền giới hạn bởi: x + y + z 2 ≤ 4, y ≥ 0 với z ≥ 0 . 2 2 với f ≡ f (x , y, z ) = f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ). VD 8. Tính tích phân: dxdydz I = ∫∫∫ . X 2 + y2 + z2 V trong những số ấy V : 1 ≤ x2 + y2 + z 2 ≤ 4.Toán cao c p. A3 Đ i h c 17ĐH Công nghi p tp hcm Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. ∫∫∫ 2 2 2 VD 10. Tính tích phân I = x + y + z dxdydz , §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 3.1. Tính thể tích V của đồ dùng thể V trong những số ấy V là miền giới hạn bởi: x 2 + y 2 + z 2 − z ≤ 0 . Thể tích V của đồ thể có đường sinh song song với Oz và hình chiếu bên trên Oxy là D , hai đáy giới hạn bởi những mặt z = f1(x , y ) ≤ z = f2 (x , y ) là: V = ∫∫  f2 (x , y ) − f1(x , y ) dxdy. D Thể tích của đồ gia dụng thể là: V ( ) = ∫∫∫ dxdydz . …………………………………………………………… Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. VD 2. Tính thể tích đồ dùng thể V giới hạn bởi VD 1. Tính thể tích V của đồ dùng thể giới hạn bởi phần hình trụ x 2 + y 2 = 1 và hai mặt phẳng phần hình tròn trụ x 2 + y 2 − 2y = 0 bên trong x + y + z − 5 = 0, z = 2 . Hình cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 ứng với z ≥ 0 . V Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. 3.2. Giá trị trung bình của hàm trên miền đóng góp VD 3. Tính thể tích V của thứ thể số lượng giới hạn bởi các mặt: giá trị trung bình của hàm f (x , y ) bên trên miền D ⊂ ℝ2 x 2 + y 2 = 4 − z , x 2 + y 2 ≥ 2 cùng z = 0 . đóng cùng bị chặn là: 1 S (D ) ∫∫ f= f (x , y )dxdy. D ⊂ ℝ3 giá trị trung bình của hàm f (x , y, z ) trên miền đóng với bị ngăn là: 1 V ( ) ∫∫∫ f= f (x , y, z )dxdydz . VD 4. Tính giá trị trung bình của f (x , y ) = x cos xy trong hình chữ nhật D : 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ 1.Toán cao c phường A3 Đ i h c 18ĐH Công nghi p tp hcm Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. VD 5. Tính quý giá trung bình của f (x , y, z ) = xyz vào Xét thiết bị thể chỉ chiếm miền V ⊂ ℝ 3 (đóng với bị chặn) có hình lập phương = <0; 2>×<0; 2>×<0; 2>. Cân nặng riêng là hàm ρ(x , y, z ) thường xuyên trên V . 3.3. Khối lượng m của đồ thể lúc đó, trọng lượng của đồ vật thể là: Xét phiên bản phẳng chỉ chiếm miền D ⊂ ℝ2 (đóng và bị chặn) m = ∫∫∫ ρ(x , y, z )dxdydz . Có trọng lượng riêng (mật độ trọng lượng hay tỉ khối) trên V điểm M (x , y ) ∈ D là hàm ρ(x , y ) thường xuyên trên D . Khi đó, cân nặng của bạn dạng phẳng là: m = ∫∫ ρ(x , y )dxdy. VD 7. Tính trọng lượng của đồ gia dụng thể chiếm phần miền V số lượng giới hạn bởi các mặt: D z = x + y , x + y = 1 và 3 mặt phẳng tọa độ. VD 6. Tính trọng lượng của bản phẳng chiếm phần miền D Biết cân nặng riêng là hàm ρ(x , y, z ) = x . Số lượng giới hạn bởi x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 với y ≥ 0 . Biết tỉ khối phẳng là hàm ρ(x , y ) = xy . Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. 3.4. Trung tâm của đồ dùng thể VD 8. Tìm tọa độ trọng tâm hình phẳng D giới hạn bởi Tọa độ giữa trung tâm G của phiên bản phẳng D có khối lượng x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1. Biết ρ(x , y ) = 2x + y . Riêng ρ(x , y ) tiếp tục trên D là: 1 1 xG = ∫∫ x ρ(x , y )dxdy, yG = ∫∫ y ρ(x , y )dxdy. VD 9. Kiếm tìm tọa độ trung tâm của vật thể đồng chất V mD mD giới hạn bởi z = 0, z = 2 − x 2 − y 2 với x 2 + y 2 = 1. Giải. đồ gia dụng thể đồng chất đề xuất ρ(x , y, z ) = k ∈ ℝ . Tương tự, tọa độ trung tâm G của đồ dùng thể V là: • Ta có: m = k ∫∫∫ dxdydz ⇒ m = kV 1 xG = ∫∫∫ x ρ(x , y, z )dxdyz , mV V 1 k 1 ∫∫∫ xdxdyz = V ∫∫∫ xdxdyz . ⇒ xG = yG = ∫∫∫ y ρ(x , y, z )dxdyz , m mV V V 1 zG = ∫∫∫ z ρ(x , y, z )dxdyz . ………………………………………………………….. MV Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Ch 3. Ng Ch 3. Ng §1. Tích phân đường loại 1 y • điện thoại tư vấn độ lâu năm cung vật dụng i là ∆si . §2. Tích phân đường nhiều loại 2 L §3. Tích phân mặt nhiều loại 1 trên cung thiết bị i lấy điểm • §4. Tích phân mặt nhiều loại 2 M i (x (ti ), y(ti )) tùy ý. ∆si • ……………………………………………………… • §1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I • • n mày ∑ f (M i )∆si Tổng I n = 1.1. Định nghĩa i =1 O x t0 x xt xt xt • giả sử mặt đường cong L trong phương diện phẳng Oxy có phương i −1 i n trình tham số x = x (t ), y = y(t ) cùng với t ∈ với f (x , y ) được điện thoại tư vấn là tổng tích phân đường loại 1 của hàm số f (x , y ) trên phố cong L . Là hàm số xác minh trên L . N ∑ f (M i )∆si chia L thành n cung ko dẫm lên nhau bởi những điểm lim • số lượng giới hạn tồn tại hữu hạn max ∆s →0 phân chia ứng cùng với a = t0 ĐH Công nghi p thành phố hồ chí minh Wednesday, January 26, 2011dvnbaigiangdienbien.edu.vn.wordpress.com Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Ch 3. Ng Ch 3. Ng 1.2. Sự trường thọ tích phân đường một số loại 1 ∫ f (x , y )ds tuyệt ∫ f (x, y )dl . Ký kết hiệu là a) tư tưởng đường cong trơn L L Đường cong L gồm phương trình x = x (t ), y = y(t ) được • Tích phân đường nhiều loại 1 của hàm số f (x , y, z ) trên phố cong L trong không gian, ký hiệu là ∫ f (x , y, z )ds , hotline là trơn tru nếu những đạo hàm x ′(t ), y ′(t ) tồn tại với không L được khái niệm tương tự. đồng thời bởi 0. Nhấn xét Nói phương pháp khác, đường cong L được call là trơn trường hợp tại hầu hết điểm M ∈ L hầu như vẽ được tiếp con đường với L . Tích phân đường nhiều loại 1 có tất cả các tính chất của tích phân xác định. B) Định lý Tích phân đường nhiều loại 1 không nhờ vào vào chiều của Nếu mặt đường cong L trơn từng khúc (hay từng đoạn) cùng cung AB , nghĩa là: ∫ fds = ∫ fds. Hàm số f liên tục trên L thì tích phân ∫ fds tồn tại. AB ba L Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Ch 3. Ng Ch 3. Ng ∫ xds . VD 1. Tính tích phân I = 1.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH a) Đường cong L gồm phương trình thông số L • Nếu đường cong L trong mặt phẳng gồm phương trình trong đó, L là cung tròn tất cả phương trình tham số: x = x (t ), y = y(t ), cùng với a ≤ t ≤ b thì: π π x = cos t , y = sin t , ≤ t ≤ . B 6 3 ∫ f (x (t ), y(t )) (xt′ ) + (yt′ ) dt. 2 2 ∫ f (x , y )ds = ∫ (x − y )dl . Vào đó, L VD 2. Tính tích phân I = là L a L • Nếu con đường cong L trong không khí có phương trình đoạn trực tiếp nối điểm A(0; 2) với điểm B(−2; −3). X = x (t ), y = y(t ), z = z(t ) cùng với a ≤ t ≤ b thì: b ∫ f . (xt′ ) + (yt′ ) + (zt′ ) dt. 2 2 2 ∫ (1 − 2x 2 VD 3. Tính tích phân I = ∫ f (x , y, z )ds = )2ydl . Trong đó, L L L a là đoạn trực tiếp nối điểm A(1; −3) với điểm B(1; −7). Trong đó, f ≡ f (x (t ), y(t ), z (t )). Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Ch 3. Ng Ch 3. Ng ∫ (2xy + z )ds . Trong đó, L là b) Đường cong L tất cả phương trình tổng thể VD 4. Tính tích phân I = L • trường hợp L gồm phương trình y = y(x ) với a ≤ x ≤ b thì: đường xoắn ốc trụ tròn xoay gồm phương trình tham số: x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 ≤ t ≤ 2π . B 1 + (yx ) dx . 2 ∫ ∫ f (x, y(x )). ′ f (x , y )ds = yds ∫ L a VD 5*. Tính tích phân I = . 1 + 4x 2 − 4x 4 • nếu như L gồm phương trình x = x (y ) với a ≤ y ≤ b thì: L trong đó, L là phần giao tuyến đường giữa 2 mặt: z = 2 − x 2 − 2y 2 , z = x 2 b ∫ f (x (y ), y).

Xem thêm:
Giải Bài Tập Bản Đồ Địa Lý 8 Bài 8: Tình Hình Phát Triển Kinh Tế

(xy′ ) 2 ∫ f (x , y )ds = + 1 dy. Và phía trong góc phần 8 trước tiên nối từ điểm A(0; 1; 0) L a đến điểm B(1; 0; 1).Toán cao c p A3 Đ i h c 20