Thuật toán kiếm tìm hạng của ma trận• cách 1. Đưa ma trận đề xuất tìm hạng về bậc thang.• cách 2. Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính là hạng của ma trận đã cho.




Bạn đang xem: Chương 1: Ma Trận Và Định Thức

*
11 trang | chia sẻ: truongthinh92 | Lượt xem: 39899 | Lượt tải: 2
*

Bạn sẽ xem nội dung tài liệu Bài giảng Toán thời thượng - Chương 1: Ma trận, định thức, để sở hữu tài liệu về máy bạn click vào nút tải về ở trên
Aa a a             • những số ija được hotline là các bộ phận của A ở chiếc thứ i với cột đồ vật j . • Cặp số ( , )m n được gọi là size của A. • khi 1m  , ta gọi: 11 12 1( ... )n
A a a a là ma trận dòng. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức• lúc 1n  , ta hotline 111...ma
Aa           là ma trận cột. • lúc 1m n  , ta gọi: 11( )A a là ma trận gồm một phần tử. • Ma trận (0 )ij m n
O có tất cả các thành phần đều bằng 0 được call là ma trận không. • Tập hợp những ma trận A được ký kết hiệu là ,( )m n
M ¡ , khiến cho gọn ta viết là ( )ij m n
A a  . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức• Ma trận vuông § khi m n , ta hotline A là ma trận vuông cấp n . Ký hiệu là ( )ij n
A a . § Đường chéo cánh chứa các thành phần 11 22, ,...,nna a a được call là đường chéo chính của ( )ij n
A a , đường chéo còn lại được hotline là đường chéo cánh phụ. 2 35 87 42466 57311 0            Ø Chương 5. Đại số tuyến đường tính• những ma trận vuông quan trọng đặc biệt § Ma trận vuông có toàn bộ các thành phần nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được call là ma trận chéo. 1 0 00 5 00 0 0          § Ma trận chéo cánh cấp n gồm toàn bộ các bộ phận trên đường chéo chính đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị chức năng cấp n . Cam kết hiệu là n
A a với ( )ij
B b được call là bởi nhau, cam kết hiệu A B , khi và chỉ còn khi bọn chúng cùng form size và , ,ij ija b i j  . VD 1. đến 12x y
Az t      với 1 0 12 3Bu      . Ta có: 0; 1; 2; 2; 3A B x y z u t       . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 1.2. Các phép toán bên trên ma trận a) Phép cộng và trừ nhị ma trận đến hai ma trận ( )ij m n
A a và ( )ij m n
B b , ta có: ( ) .ij ij m n
A B a b   VD 2. 1 0 2 2 0 2 1 0 42 3 4 5 3 1 7 0 3                                ; 1 0 2 2 0 2 3 0 02 3 4 5 3 1 3 6 5                                 . Nhận xét Phép cộng ma trận bao gồm tính giao hoán cùng kết hợp. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức b) Phép nhân vô hướng mang đến ma trận ( )ij m n
A a  với   ¡ , ta có: ( ) .ij m n
A a và ( )kj n p
B b , ta có: ( ) .ik m p
AI A I A  , với ,( )m n
A M ¡ . VD 7. Cho 1 0 12 2 03 0 3A             cùng 1 2 10 3 12 1 0B             . Tiến hành phép tính: a) AB ; b) BA. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức
A a và *p  ¥ , ta có: pn n
I I với 0 1 1, ( ) ( )p p. Pn
A I A A A A A    (lũy vượt ma trận). ØChương 1. Ma Trận, Định Thức d) Phép đưa vị đến ma trận ( )ij m n
A a . Khi đó, ( )Tji n m
A a ( 2)m  . Các phép đổi khác sơ cung cấp (PBĐSC) mẫu e bên trên A là: 1) 1( ) :e Hoán vị hai dòng lẫn nhau i kd d
A A  . 2) 2( ) :e Nhân 1 loại với số 0  , i id d
A A  . 3) 3( ) :e thay 1 dòng vì tổng của mẫu đó với λ lần dòng khác, i i kd d d
A A   . Chú ý 1) Trong thực hành ta thường làm i i kd d d
A B   . 2) Tương tự, ta cũng có các phép thay đổi sơ cung cấp trên cột của ma trận. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 15. Dùng PBĐSC bên trên dòng để mang ma trận 2 1 11 2 33 1 2A             về 1 2 30 1 7 / 50 0 0B           . Giải. 1 21 2 32 1 13 1 2d d
A             2 2 13 3 1231 2 30 5 70 5 7d d dd d d              ØChương 1. Ma Trận, Định Thức3 3 22 2151 2 30 1 7 / 50 0 0d d dd d
A M ¡ được gọi là khả nghịch giả dụ tồn trên ma trận ( )n
B M ¡ sao cho: .n
AB bố I  • Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A. Cam kết hiệu 1B A . Khi đó: 1 1 1 1; ( ) .n
A A AA I A A      chú ý Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì B là duy nhất cùng A cũng chính là ma trận nghịch đảo của B . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 17. 2 51 3A      với 3 51 2B        là hai ma trận nghịch đảo của nhau bởi 2AB bố I  . để ý 1) nếu như ma trận A có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì không khả nghịch. 2) 1 1 1( )AB B A   . 3) nếu như 0ac bd  thì: 11. .a b c bd c d aac bd               ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 18. Cho 2 51 3A      cùng 2 13 2B     . Tiến hành phép tính: a) 1( )AB  ; b) 1 1B A  . Giải. A) Ta có: 19 1211 7AB      với 19.7 11.12 1  1119 12 7 12( )11 7 11 19AB                 . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức b) Ta có: 1 12 1 3 5 7 123 2 1 2 11 19B A                                . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức§2. ĐỊNH THỨC 2.1. Định nghĩa a) Ma trận nhỏ cấp k đến   ( )ij nn
A a M  ¡ . • Ma trận vuông cấp k được lập trường đoản cú các bộ phận nằm trên giao của k mẫu và k cột của A được điện thoại tư vấn là ma trận nhỏ cấp k của A. • Ma trận ij
A M ¡ , ký kết hiệu det
A hay A , là một trong số thực được định nghĩa: § ví như 11( )A a thì 11det
A a . § ví như 11 1221 22a a
Aa a      thì 11 22 12 21det
A a a a a  . § nếu ( )ij n
A a (cấp 3n  ) thì: 11 11 12 12 1 1det ...n n
A a A a A a A    trong đó, ( 1) deti jij ij
A M  với số thực ij
A được gọi là phần bù đại số của thành phần ija . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức11 12 13 11 1221 22 23 21 2231 32 33 31 32a a a a aa a a a aa a a a a(Tổng của tích các bộ phận trên đường chéo cánh nét liền trừ đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt). 2) Tính 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a. để ý 1) det 1, det 0n n
I O  . 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a ahoặcØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 2. Tính định thức của các ma trận sau: 3 21 4A      , 1 2 13 2 12 1 1B           . Giải. 33.4d21.( 2)t 41e 14A     . Det 1.( 2).1 2.1.2 3.1.( 1)B        2.( 2)( 1) 3.2.1 1.1.1 12.         ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 3. Tính định thức của ma trận: 0 0 3 14 1 2 13 1 0 22 3 3 5A              . Giải. Ta có: 11 12 13 14det 0. 0. 3. ( 1).A A A A A     1 3 1 413 143( 1) det ( 1) det
M M     4 1 1 4 1 23 3 1 2 3 1 0 492 3 5 2 3 3   . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 2.2. Các tính chất cơ bản của định thức mang đến ma trận vuông   ( )ij nn
A a M  ¡ , ta có các khai triển Laplace của định thức A: a) khai triển theo loại thứ i 1 1 2 21det ... .ni i i i in in ij ijj
A a A a A a A a A     trong đó, ( 1) det( )i jij ij
A M  . B) khai triển theo cột đồ vật j 1 1 2 21det ... .nj j j j nj nj ij iji
Các kết quả đặc biệt nên nhớ 1) Dạng tam giác 11 12 1 1122 2 21 2211 221 2... 0 ... 00 ... ... 0... .... ... ... ... ... ... ... ...0 0 ... ...nnnnnn n n nna a a aa a a aa a aa a a a  2) Dạng tích: det( ) det .det .AB A B 3) Dạng phân tách khối det .detn
A cha CO CMK K KM, cùng với , , ( )n
B 1 2 3 43 2 8 1 280.ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 16. Tính 1 1 1 2 1 4det 2 0 3 2 1 31 2 3 1 2 1C                        . Giải. Ta có: 1 1 1 2 1 4det 2 0 3 2 1 3 31 2 3 1 2 1C  . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 17. Tính 1 1 1 2 1 4 3 1 4det 2 0 3 2 1 3 0 1 2 .1 2 3 1 2 1 1 2 1TD                                            Giải. Ta có: 1 1 1 2 1 4 3 1 4det 2 0 3 2 1 3 0 1 2 211 2 3 1 2 1 1 2 1D  . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức Giải. Chuyển vị định thức, ta được: Phương trình 1 201 2x xx x  VD 18. Phương trình 1 0 01 0 002 23 8 2xxx xx bao gồm nghiệm là: A. 1x   ; B. 1x  ; C. 1x  ; D. 12xx    . 2 2( 1)( 4) 0x x A     . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo a) Định lý Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ còn khi: det 0.A VD 19. Cực hiếm của thông số m để ma trận 21 01 00 1 1 1Tmm m
A m milimet m m  Vậy A khả nghịch 0det 01m
A Bm     . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức b) Thuật toán tìm kiếm A–1 • bước 1. Tính det
A. Giả dụ det 0A thì tóm lại A ko khả nghịch. Ngược lại, ta có tác dụng tiếp cách 2. • bước 2. Lập ma trận   , ( 1) deti jij ij ijn
A A M  . Suy ra ma trận phụ hợp (adjunct matrix) của A là:   .Tij nadj
A A     • cách 3. Ma trận nghịch hòn đảo của A là: 1 1 . .det
A adj
AA  ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 20. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của: 1 2 11 1 23 5 4A          . Giải. Ta có: det 0A A  ko khả nghịch. VD 21. Mang đến ma trận 1 2 10 1 11 2 3A          . Tìm 1A . Giải. Ta có: det 2 0A A   khả nghịch. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức11 12 131 1 0 1 0 11, 1, 1,2 3 1 3 1 2A A A     21 22 232 1 1 1 1 24, 2, 0,2 3 1 3 1 2A A A     31 32 332 1 1 1 1 21, 1, 1.1 1 0 1 0 1A A A     1 4 11 2 11 0 1adj
A             11 4 111 2 1 .21 0 1A             ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 2.5. Hạng của ma trận a) Định thức bé cấp k mang đến ma trận  ij m n
A a  . Định thức của ma trận con cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A. Định lý giả dụ ma trận A có tất cả các định thức bé cấp k đều bởi 0 thì những định thức con cấp 1k  cũng bằng 0. B) Hạng của ma trận Cấp cao nhất của định thức nhỏ khác 0 của ma trận A được điện thoại tư vấn là hạng của ma trận A. Ký hiệu là ( )r A . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức chăm chú • trường hợp  ij m n
A             có hạng bằng 3 là: A. 1m  ; B. 1m  ; C. 1m   ; D. 0m  . Giải. Ta có: 3 2( ) 3 det 0 01 1r A A m D      . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 23. Cho 1 3 4 22 5 1 43 8 5 6A            . Kiếm tìm ( )r A . Giải. đổi khác 2 2 13 3 1231 3 4 20 1 7 00 1 7 0d d dd d d
A                3 3 21 3 4 đôi mươi 1 7 0 ( ) đôi mươi 0 0 0d d d r A              . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 24. đến 2 1 1 30 1 0 00 1 2 00 1 1 4A               . Tìm ( )r A . Giải. Vươn lên là đổi: 2 1 1 30 1 0 00 0 2 00 0 1 4A              2 1 1 30 1 0 0.0 0 2 00 0 0 8               Vậy ( ) 4r A  . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức

33 trang | phân tách sẻ: thanhthanh29 | Lượt xem: 1166 | Lượt tải: 0
*

Bạn đã xem trước đôi mươi trang mẫu mã tài liệu Bài giảng Toán thời thượng - Chương 2: Ma trận – định thức, để cài tài liệu gốc về máy bạn click vào nút tải về ở trên
CHƯƠNG 2MA TRẬN – ĐỊNH THỨC§1. Ma trận 1.1. Các khái niệm 1.2. Các phép toán §2. Định thức 2.1. Định nghĩa 2.2. Các đặc thù của định thức§3. Ma trận nghịch đảo§4. Hạng của ma trận§1. Ma trận1.1. Các khái niệm cơ bản
Ma trận cấp cho m´n là một trong bảng, gồm m´n số được xếp thành m chiếc và n cột, kí hiệu:Am´n = hoặc Am´n=(aij)aij là phần tử nằm trên loại i cột j của ma trận AHai ma trận bằng nhau là hai ma trận cùng cấp cho và có các phần tử tương ứng bằng nhau, ghi A=BMa trận vuông cấp n là ma trân gồm n dòng và n cột. Kí hiệu AnĐương chéo: khi A là ma trận vuông, các phần tử aii "i sinh sản thành đường chéo chính, các bộ phận an1, an-1 2, ..., a1n tạo ra thành đường chéo phụ. Ma trận tam giác là ma trận vuông có tất cả các thành phần aij=0 khi "i>j hoặc khi "i2: An=(aij) Þdet
A=a11det
M11-a12det
M12+...+(-1)1+na1ndet
M1n (1)TD: Tính những định thức=-2; =(-2+0-6)-(3+8+0)=-19=-14Þ=-142.2. Các tính chất
TC1: det
An=a11det
M11-a21det
M21+...+(-1)n+1an1det
Mn1 (2)TC2: Đổi vị trí hai dòng(hai cột) lẫn nhau thì định thức thay đổi dấu.TC3: Định thức có hai dòng(cột) giống nhau thì bằng 0.TC4: call phần bù đại số của thành phần aij là: Aij =(-1)i+j det
Mij (Mij là ma trận con bù của aij), ta có: (3) (4)Hệ quả: khai triển định thức theo dòng i
Khai triển định thức theo cột j
TC5: Nếu toàn bộ các bộ phận của một dòng(cột) là tổng của nhị số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của nhì định thức.TC6: thừa số thông thường của một dòng(cột) hoàn toàn có thể đưa ra phía bên ngoài định thức.TD: TC7: Định thức gồm một dòng(cột) bằng 0, thì bởi 0TC8: rước một dòng(cột) nhân với một trong những rồi cộng tương xứng với một mẫu (cột) không giống thì định thức không đổi
TC9: det
AB = det
A.det
BTC10: det
A=det
AT2.3. Cách tính định thứcĐịnh thức cấp 2:A = , từ tư tưởng Þ |A|=a11a22-a12a21(Tích các thành phần trên đường chéo cánh chính trừ tích các phần tử trên đường chéo cánh phụ)Định thức cấp cho 3A = |A|=(a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31)-(a13a22a31+a21a12a33+ + a23a32a11)Sơ đồ dùng trực quan: -hoặc ta bổ sung thêm cột 1, cột 2 cạnh bên định thức
TD: =-18.Định thức cấp n (n >3)a/ khai triển định thức theo dòng hoặc cột và kết hợp các đặc điểm khác.TD: Tính định thức: D=Khai triển theo cột 3, D=1. =-13Chú ý: Định thức của ma trận tam giác=a11a22 ... Annb) chuyển đổi về định thức tam giác
TD: Tính D = = =(a+2x)=(a+2x) =(a+2x)(a-x)=(a + 2x)(a - x)2.D== = = = -1=116§3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢOĐịnh nghĩa1:Cho ma trận vuông A cung cấp n, nếu như tồn trên ma trận vuông B cung cấp n làm thế nào cho AB = cha = In thì ta nói A khả hòn đảo và call B là ma trận nghịch hòn đảo của A, kí hiệu A-1.Vậy AA-1 = A-1A = In.Định nghĩa 2: Ma trận vuông A hotline là ko suy đổi mới nếu det
A ¹ 0.Định lí 1: Ma trận vuông A bao gồm ma trận nghịch đảo (khả đảo) khi và chỉ khi A không suy biến.Khi đó A-1 = (Aij là phần bù đại số của aij)Định lí 2: 1/ nếu như A không suy thay đổi thì (A-1)-1 = A2/ giả dụ A, B vuông cùng cung cấp không suy trở nên thì A.B có ma trận nghịch đảo: (AB)-1 = B-1A-1.Có thể dùng những phép đổi khác sơ cấp trên chiếc để kiếm tìm ma trận nghịch đảo
Thực hiện các phép đổi khác sơ cấp trên mẫu đưa ma trận ghép về , khi ấy B=A-1.TD: kiếm tìm A-1 cùng với A=Þ ÞÞ Vậy A-1 = TD: mang lại A là ma trận vuông không suy biến. Xét những phương trình ma trận:Ÿ AX = B Û X = A-1.B(1)Ÿ XA = B Û X = B.A-1(2)§3. HẠNG CỦA MA TRẬN3.1. Định nghĩa hạng của ma trận


Xem thêm: Giải Tập Bản Đồ Địa Lý 8 Bài 25, Giải Tập Bản Đồ Địa Lí 8 Hay Nhất

Hạng của ma trận Amxn là cấp cao nhất của định thức bé khác không trong A, kí hiệu là r(A).Vậy: 0£r(A)£ min(m,n)Quy ước: trường hợp A là ma trận không, quy cầu r(A)=0 Hệ quả: r(A)=r(AT)3.2. Biện pháp tìm hạng của ma trậna/ tìm kiếm r(A) bởi định nghĩaĐịnh lí: nếu trong ma trận A toàn bộ các định thức con cấp k đều bằng 0 thì toàn bộ các định thức nhỏ cấp k+1 cũng bởi 0.Hệ quả: ví như A có tất cả các định thức bé cấp k bởi 0 thì r(A)Bai giang toan A1.docx